pesë herë në sy

Në fund të vitit 2020, u zhvilluan disa aktivitete në universitete dhe shkolla, të shtyra nga ... Marsi. Një prej tyre ishte “festimi” i ditës së pi. Me këtë rast, më 8 dhjetor, mbajta një leksion në distancë në Universitetin e Silesisë dhe ky artikull është një përmbledhje e leksionit. E gjithë festa filloi në 9.42, kurse ligjërata ime është planifikuar për në 10.28. Nga vjen një saktësi e tillë? Është e thjeshtë: 3 herë pi është rreth 9,42, dhe π në fuqinë e dytë është rreth 2, dhe ora 9,88 në fuqinë e 9 është 88 deri në 10 ...

Zakoni i nderimit të këtij numri, duke shprehur raportin e perimetrit të një rrethi me diametrin e tij dhe nganjëherë quhet konstanta e Arkimedit (si dhe në kulturat gjermanishtfolëse), vjen nga SHBA (Shiko gjithashtu: ). 3.14 Mars “Stili Amerikan” në orën 22:22, prandaj ideja. Ekuivalenti polak mund të jetë 7 korriku, sepse fraksioni 14/XNUMX përafrohet mirë me π, të cilin Arkimedi e dinte tashmë. Epo, Marsi XNUMX është koha më e mirë për ngjarje të lidhura.

Këto tre e katërmbëdhjetë të qindtat janë një nga mesazhet e pakta matematikore që na kanë mbetur nga shkolla gjatë gjithë jetës. Të gjithë e dinë se çfarë do të thotë"pesë herë në sy". Është aq i ngulitur në gjuhë sa është e vështirë të shprehet ndryshe dhe me të njëjtin hir. Kur pyeta në dyqanin e riparimit të makinave se sa mund të kushtonte riparimi, mekaniku mendoi për këtë dhe tha: "pesë herë rreth tetëqind zloti". Vendosa të përfitoj nga situata. "Do të thuash një përafrim të përafërt?". Mekaniku duhet të ketë menduar se kisha dëgjuar keq, kështu që ai përsëriti: "Nuk e di saktësisht sa, por pesë herë me sy do të ishte 800".

.

Për çfarë bëhet fjalë? Drejtshkrimi i para Luftës së Dytë Botërore përdorte "jo" së bashku dhe e lashë atje. Këtu nuk kemi të bëjmë me poezi të panevojshme madhështore, megjithëse më pëlqen ideja se “një anije e artë pompon lumturinë”. Pyesni studentët: Çfarë do të thotë ky mendim? Por vlera e këtij teksti qëndron diku tjetër. Numri i shkronjave në fjalët e mëposhtme janë shifrat e shtrirjes pi. Le të shohim:

Π ≈ 3,141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982 148086 513282 306647 093844 609550 582231 725359 408128 481117 450284

Në 1596, një shkencëtar holandez me origjinë gjermane Ludolph van Seulen llogaritur vlerën e pi në 35 shifra dhjetore. Më pas këto figura u gdhendën në varrin e tij. Ajo i kushtoi një poezi numrit pi dhe nobelistit tonë, Vislava Shimborska. Szymborska ishte magjepsur nga jo periodiciteti i këtij numri dhe fakti që me probabilitet 1 çdo sekuencë shifrash, siç është numri ynë i telefonit, do të ndodhë atje. Ndërsa vetia e parë është e natyrshme në çdo numër irracional (të cilin duhet ta kujtojmë nga shkolla), e dyta është një fakt interesant matematikor që është i vështirë për t'u vërtetuar. Madje mund të gjesh aplikacione që ofrojnë: më jep numrin tënd të telefonit dhe do të të them ku është në pi.

Ku ka rrumbullaksi, ka gjumë. Nëse kemi një liqen të rrumbullakët, atëherë ecja rreth tij është 1,57 herë më e gjatë se noti. Sigurisht, kjo nuk do të thotë se ne do të notojmë një e gjysmë deri në dy herë më ngadalë se sa do të kalojmë. Kam ndarë rekordin botëror në 100 metra me rekordin botëror të 100 metra. Është interesante se tek meshkujt dhe femrat, rezultati është pothuajse i njëjtë dhe është 4,9. Ne notojmë 5 herë më ngadalë sesa vrapojmë. Vozitja është krejtësisht e ndryshme - por një sfidë interesante. Ka një histori mjaft të gjatë.

Duke ikur nga Vizioni në ndjekje, i Miri i pashëm dhe fisnik lundroi drejt liqenit. Humori vrapon përgjatë bregut dhe pret që ajo ta bëjë atë të ulet. Sigurisht, ai vrapon më shpejt se rreshtat Dobry, dhe nëse vrapon pa probleme, Dobry është më i shpejtë. Pra, e vetmja mundësi për të Keqin është të marrë të mirën nga bregu - një goditje e saktë nga një revolver nuk është një opsion, sepse. E mira ka informacion të vlefshëm që e keqja dëshiron të dijë.

Mirë i përmbahet strategjisë së mëposhtme. Ai noton përtej liqenit, duke iu afruar gradualisht bregut, por gjithmonë përpiqet të jetë në anën e kundërt të të Ligut, i cili vrapon rastësisht majtas, pastaj djathtas. Kjo është treguar në figurë. Le të jetë pozicioni i fillimit të së keqes Z₁, dhe Dobre është mesi i liqenit. Kur Zly zhvendoset në Z₁, Dobro do të lundrojë për në D.₁kur Bad është në Z₂, mirë me D₂. Do të rrjedhë në mënyrë zigzag, por në përputhje me rregullin: sa më shumë që të jetë e mundur nga Z. Megjithatë, ndërsa largohet nga qendra e liqenit, e mira duhet të lëvizë në rrathë gjithnjë e më të mëdhenj dhe në një moment nuk mundet. t'i përmbahen parimit "të jesh në anën tjetër të së Keqes". Pastaj voziti me të gjitha forcat deri në breg, duke shpresuar se i ligu nuk do ta anashkalonte liqenin. A do të ketë sukses Good?

Përgjigja varet nga sa shpejt mund të rend Mirë në lidhje me vlerën e këmbëve të Bad. Supozoni se Njeriu i Keq vrapon me një shpejtësi s herë më të madhe se shpejtësia e Njeriut të Mirë në liqen. Prandaj, rrethi më i madh, mbi të cilin e mira mund të rreshtohet për t'i rezistuar të Keqes, ka një rreze që është një herë më e vogël se rrezja e një liqeni. Pra, në vizatim kemi. Në pikën W, Lloji ynë fillon të vrapojë drejt bregut. Kjo duhet të shkojë 

 me shpejtesi

Ai ka nevojë për kohë.

I ligu po ndjek të gjitha këmbët e tij më të mira. Ai duhet të plotësojë gjysmën e rrethit, i cili do t'i marrë sekonda ose minuta, në varësi të njësive të zgjedhura. Nëse ky është më shumë se një fund i lumtur:

E mira do të shkojë. Llogaritë e thjeshta tregojnë se çfarë duhet të jetë. Nëse njeriu i keq vrapon më shpejt se 4,14 herë njeriu i mirë, nuk përfundon mirë. Dhe këtu, gjithashtu, numri ynë pi ndërhyn.

Ajo që është e rrumbullakët është e bukur. Le të shohim foton e tre pjatave dekorative - i kam pas prindërve të mi. Sa është sipërfaqja e trekëndëshit lakor ndërmjet tyre? Kjo është një detyrë e thjeshtë; përgjigja është në të njëjtën foto. Ne nuk jemi të habitur që shfaqet në formulë - në fund të fundit, ku ka rrumbullakësi, ka pi.

Kam përdorur një fjalë ndoshta të panjohur:. Ky është emri i pi në kulturën gjermanishtfolëse, dhe e gjithë kjo falë holandezëve (në fakt një gjerman që jeton në Holandë - kombësia nuk kishte rëndësi në atë kohë), Ludolf i Seulenit... Në vitin 1596 g. ai llogariti 35 shifra të zgjerimit të tij në dhjetor. Ky rekord u mbajt deri në vitin 1853, kur William Rutherford numëronte 440 vende. Mbajtësi i rekordit për llogaritjet manuale është (ndoshta përgjithmonë) William Shanksi cili, pas shumë vitesh punë, botoi (në 1873) shtrirje në 702 shifra. Vetëm në vitin 1946, 180 shifrat e fundit u gjetën të pasakta, por mbeti i tillë. 527 e saktë. Ishte interesante të gjeja vetë gabimin. Menjëherë pas publikimit të rezultatit të Shanks, ata dyshuan se "diçka nuk ishte në rregull" - kishte dyshime pak shtatë në zhvillim. Hipoteza ende e paprovuar (dhjetor 2020) thotë se të gjithë numrat duhet të shfaqen me të njëjtën frekuencë. Kjo e shtyu D.T. Ferguson të rishikonte llogaritjet e Shanks dhe të gjente gabimin e "mësuesit"!

Më vonë, kalkulatorët dhe kompjuterët i ndihmuan njerëzit. Rekord mbajtësi aktual (dhjetor 2020) është Timothy Mullican (50 trilion vende dhjetore). Llogaritjet zgjatën ... 303 ditë. Le të luajmë: sa hapësirë ​​do të zinte ky numër, i shtypur në një libër standard. Deri vonë, "ana" e shtypur e tekstit ishte 1800 karaktere (30 rreshta me 60 rreshta). Le të zvogëlojmë numrin e karaktereve dhe margjinave të faqeve, të grumbullojmë 5000 karaktere për faqe dhe të printojmë libra me 50 faqe. Pra, XNUMX trilion karaktere do të duheshin dhjetë milionë libra. Jo keq, apo jo?

Pyetja është, cili është qëllimi i një lufte të tillë? Nga pikëpamja thjesht ekonomike, pse duhet të paguajë taksapaguesi për një "argëtim" të tillë të matematikanëve? Përgjigja nuk është e vështirë. Së pari, nga Seuleni shpiku boshllëqe për llogaritjet, pastaj i dobishëm për llogaritjet logaritmike. Nëse do t'i kishin thënë: të lutem, ndërto boshllëqe, ai do të përgjigjej: pse? Në mënyrë të ngjashme komanda:. Siç e dini, ky zbulim nuk ishte krejtësisht i rastësishëm, por megjithatë një nënprodukt i një kërkimi të një lloji tjetër.

Së dyti, le të lexojmë se çfarë shkruan Timothy Mullican. Këtu është një riprodhim i fillimit të punës së tij. Profesor Mullican është në sigurinë kibernetike dhe pi është një hobi kaq i vogël saqë ai sapo testoi sistemin e tij të ri të sigurisë kibernetike.

Dhe se 3,14159 në inxhinieri është më se e mjaftueshme, kjo është një çështje tjetër. Le të bëjmë një llogaritje të thjeshtë. Jupiteri është 4,774 Tm larg nga Dielli (terametri = 1012 metra). Për të llogaritur perimetrin e një rrethi të tillë me një rreze të tillë në një saktësi absurde prej 1 milimetri, do të mjaftonte të merrej π = 3,1415926535897932.

Fotografia e mëposhtme tregon një çerek rrethi me tulla Lego. Kam përdorur 1774 pads dhe ishte rreth 3,08 pi. Jo më e mira, por çfarë të presësh? Një rreth nuk mund të përbëhet nga katrorë.

Pikërisht. Numri pi dihet të jetë rrethi katror - një problem matematikor që pret zgjidhjen e tij për më shumë se 2000 vjet - që nga koha e Greqisë. A mund të përdorni një busull dhe një vijë të drejtë për të ndërtuar një katror, ​​sipërfaqja e të cilit është e barabartë me sipërfaqen e rrethit të dhënë?

Termi "katror rrethi" ka hyrë në gjuhën e folur si simbol i diçkaje të pamundur. Shtyp tastin për të pyetur, a është kjo një lloj përpjekjeje për të mbushur hendekun e armiqësisë që ndan qytetarët e vendit tonë të bukur? Por tashmë e shmang këtë temë, sepse ndoshta ndihem vetëm në matematikë.

Dhe përsëri e njëjta gjë - zgjidhja e problemit të katrorit të rrethit nuk u shfaq në atë mënyrë që autori i zgjidhjes, Charles Lindemann, në vitin 1882 u ngrit dhe më në fund ia doli. Deri diku po, por ishte rezultat i një sulmi nga një front i gjerë. Matematikanët kanë mësuar se ekzistojnë lloje të ndryshme numrash. Jo vetëm numra të plotë, racionalë (d.m.th., thyesa) dhe irracionale. Pamatshmëria gjithashtu mund të jetë më e mirë ose më e keqe. Mund të kujtojmë nga shkolla se numri irracional është √2 - një numër që shpreh raportin e gjatësisë së diagonales së një katrori me gjatësinë e brinjës së tij. Si çdo numër irracional, ai ka një shtrirje të pacaktuar. Më lejoni t'ju kujtoj se zgjerimi periodik është një veti e numrave racionalë, d.m.th. numra të plotë privat:

Këtu përsëritet pafund sekuenca e numrave 142857. Për √2 kjo nuk do të ndodhë - kjo është pjesë e irracionalitetit. Por ti mundesh:

(fraksioni vazhdon përgjithmonë). Këtu shohim një model, por të një lloji tjetër. Pi nuk është edhe aq i zakonshëm. Nuk mund të merret duke zgjidhur një ekuacion algjebrik - domethënë, ai në të cilin nuk ka as rrënjë katrore, as logaritëm, as funksione trigonometrike. Kjo tashmë tregon se nuk është e ndërtueshme - vizatimi i rrathëve çon në funksione kuadratike, dhe linjat - vija të drejta - në ekuacione të shkallës së parë.

Ndoshta kam devijuar nga komploti kryesor. Vetëm zhvillimi i të gjithë matematikës bëri të mundur kthimin në origjinë - në matematikën e lashtë të bukur të mendimtarëve që krijuan për ne kulturën evropiane të mendimit, e cila është kaq e dyshimtë sot nga disa.

Nga shumë modele përfaqësuese, zgjodha dy. Të parën prej tyre e lidhim me mbiemrin Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Por ai ishte i njohur (model, jo Leibniz) nga studiuesi hindu mesjetar Madhava i Sangamagramit (1350-1425). Transferimi i informacionit në atë kohë nuk ishte i shkëlqyeshëm - lidhjet në internet shpesh ishin me probleme, dhe nuk kishte bateri për telefonat celularë (sepse elektronika nuk ishte shpikur ende!). Formula është e bukur, por e padobishme për llogaritjet. Nga njëqind përbërës, fitohet "vetëm" 3,15159.

ai është pak më mirë formula e Viète (ai nga ekuacionet kuadratike) dhe formula e tij është e lehtë për t'u programuar sepse termi tjetër në produkt është rrënja katrore e paraardhës plus dy.

Ne e dimë se rrethi është i rrumbullakët. Mund të themi se ky është një raund 100 për qind. Matematikani do të pyesë: a mund të jetë diçka jo 1 për qind e rrumbullakët? Me sa duket, kjo është një oksimoron, një frazë që përmban një kontradiktë të fshehur, siç është, për shembull, akulli i nxehtë. Por le të përpiqemi të matim se sa të rrumbullakëta mund të jenë format. Rezulton se një masë e mirë jepet nga formula e mëposhtme, në të cilën S është sipërfaqja dhe L është perimetri i figurës. Le të zbulojmë se rrethi është me të vërtetë i rrumbullakët, se sigma është 6. Sipërfaqja e rrethit është perimetri. Ne fusim ... dhe shohim se çfarë është e drejtë. Sa i rrumbullakët është katrori? Llogaritjet janë po aq të thjeshta, as që do t'i jap. Merrni një gjashtëkëndësh të rregullt të gdhendur në një rreth me një rreze. Perimetri është padyshim XNUMX.

Pol

Po për një gjashtëkëndësh të rregullt? Perimetri i tij është 6 dhe sipërfaqja e tij

Pra kemi

që është afërsisht e barabartë me 0,952. Gjashtëkëndëshi është më shumë se 95% "i rrumbullakët".

Një rezultat interesant merret kur llogaritet rrumbullakësia e një stadiumi sportiv. Sipas rregullave të IAAF, të drejta dhe kthesat duhet të jenë 40 metra të gjata, edhe pse devijimet lejohen. Më kujtohet se stadiumi Bislet në Oslo ishte i ngushtë dhe i gjatë. Unë shkruaj "ishte" sepse madje vrapova në të (për një amator!), por më shumë se XNUMX vjet më parë. Le t'i hedhim një sy:

Nëse harku ka një rreze prej 100 metrash, rrezja e atij harku është metra. Sipërfaqja e lëndinës është metra katrorë, dhe sipërfaqja jashtë saj (ku ka trampolina) është totale metër katror. Le ta lidhim këtë në formulë:

Pra, a ka lidhje rrumbullakësia e një stadiumi sportiv me një trekëndësh barabrinjës? Sepse lartësia e një trekëndëshi barabrinjës është i njëjti numër shumëfish i brinjës. Është një rastësi e rastësishme numrash, por është bukur. Më pëlqen. Dhe lexuesit?

Epo, është mirë që është i rrumbullakët, megjithëse disa mund të kundërshtojnë sepse virusi që na prek të gjithëve është i rrumbullakët. Të paktën kështu e vizatojnë.