bukuri e kundërt

Flitet shumë për “bukurinë e të kundërtave”, dhe jo vetëm në matematikë. Mos harroni se numrat e kundërt janë ata që ndryshojnë vetëm në shenjë: plus 7 dhe minus 7. Shuma e numrave të kundërt është zero. Por për ne (d.m.th. matematikanët) reciproke janë më interesante. Nëse prodhimi i numrave është i barabartë me 1, atëherë këta numra janë të kundërt me njëri-tjetrin. Çdo numër ka të kundërtën e tij, çdo numër jozero ka të kundërtën e tij. Reciproke e të dyanshmes është fara.

Inversioni ndodh kudo ku dy sasi janë të lidhura me njëra-tjetrën, kështu që nëse njëra rritet, tjetra zvogëlohet me një shpejtësi përkatëse. "Relevant" do të thotë që produkti i këtyre sasive nuk ndryshon. Kujtojmë nga shkolla: ky është një proporcion i kundërt. Nëse dua të arrij në destinacionin tim dy herë më shpejt (d.m.th. të përgjysmoj kohën), duhet të dyfishoj shpejtësinë time. Nëse vëllimi i një ene të mbyllur me gaz zvogëlohet me n herë, atëherë presioni i saj do të rritet me n herë.

Në arsimin fillor dallojmë me kujdes krahasimet diferenciale dhe ato relative. "Sa më shumë"? - "Sa herë më shumë?"

Këtu janë disa aktivitete shkollore:

Punë 1. Nga dy vlerat pozitive, e para është 5 herë më e madhe se e dyta dhe në të njëjtën kohë 5 herë më e madhe se e para. Cilat janë dimensionet?

Punë 2. Nëse një numër është 3 më i madh se i dyti dhe i dyti është 2 më i madh se i treti, sa më i madh është numri i parë se i treti? Nëse numri i parë pozitiv është dyfishi i të dytit dhe numri i parë është trefishi i të tretit, sa herë është numri i parë më i madh se i treti?

Punë 3. Në detyrën 2, lejohen vetëm numrat natyrorë. A është e mundur një marrëveshje e tillë siç përshkruhet atje?

Punë 4. Nga dy vlerat pozitive, e para është 5 herë e dyta dhe e dyta është 5 herë e para. A është e mundur?

Koncepti "mesatar" ose "mesatar" duket shumë i thjeshtë. Nëse kam bërë biçikletë 55 km të hënën, 45 km të martën dhe 80 km të mërkurën, mesatarisht kam bërë 60 km në ditë. Jemi dakord me gjithë zemër me këto përllogaritje, megjithëse janë pak të çuditshme sepse nuk kam bërë 60 km në një ditë. Ne pranojmë po aq lehtë aksionet e një personi: nëse dyqind njerëz vizitojnë një restorant brenda gjashtë ditëve, atëherë norma mesatare ditore është 33 dhe një e treta persona. Hm!

Ka probleme vetëm me madhësinë mesatare. Më pëlqen çiklizmi. Kështu që unë përfitova nga oferta e agjencisë së udhëtimeve "Let's go with us" - dërgojnë bagazhet në hotel, ku klienti nget biçikletën për qëllime rekreative. Të premten vozita për katër orë: dy të parat me një shpejtësi prej 24 km në orë. Pastaj u lodha aq shumë sa për dy të ardhshmet me një shpejtësi prej vetëm 16 në orë. Sa ishte shpejtësia ime mesatare? Sigurisht (24+16)/2=20km=20km/h.

Megjithatë, të shtunën, bagazhet u lanë në hotel dhe unë shkova të shikoja rrënojat e kalasë, e cila është 24 km larg dhe pasi i pashë, u ktheva. Kam vozitur një orë në një drejtim, jam kthyer prapa më ngadalë, me një shpejtësi prej 16 km në orë. Sa ishte shpejtësia ime mesatare në itinerarin hotel-kështjellë-hotel? 20 km në orë? Sigurisht që jo. Në fund të fundit kam vozitur gjithsej 48 km dhe më është dashur një orë ("atje") e një orë e gjysmë mbrapa. 48 km në dy orë e gjysmë, d.m.th. orë 48/2,5=192/10=19,2 km! Në këtë situatë, shpejtësia mesatare nuk është mesatarja aritmetike, por harmonia e vlerave të dhëna:

dhe kjo formulë dykatëshe mund të lexohet si vijon: mesatarja harmonike e numrave pozitivë është reciproke e mesatares aritmetike të reciprocitetit të tyre. Reciprociteti i shumës së kundërt shfaqet në shumë kore të detyrave shkollore: nëse njëri punëtor gërmon orë, tjetri - b orë, atëherë, duke punuar së bashku, ata gërmojnë në kohë. pishinë uji (njëra në orë, tjetra në b orë). Nëse njëra rezistencë ka R1 dhe tjetra ka R2, atëherë ata kanë një rezistencë paralele. 

Nëse një kompjuter mund të zgjidhë një problem në sekonda, një kompjuter tjetër në b sekonda, atëherë kur ata punojnë së bashku...

Ndalo! Këtu përfundon analogjia, sepse gjithçka varet nga shpejtësia e rrjetit: efikasiteti i lidhjeve. Punëtorët gjithashtu mund të pengojnë ose ndihmojnë njëri-tjetrin. Nëse një njeri mund të hapë një pus në tetë orë, a mund ta bëjnë atë tetëdhjetë punëtorë në 1/10 e një ore (ose 6 minuta)? Nëse gjashtë portierë e çojnë pianon në katin e parë për 6 minuta, sa kohë do t'i duhet njërit prej tyre për ta dorëzuar pianon në katin e gjashtëdhjetë? Absurditeti i problemeve të tilla na sjell ndërmend zbatueshmërinë e kufizuar të të gjithë matematikës për problemet "nga jeta".

Rreth të gjithë shitësit 

Peshoret nuk përdoren më. Kujtoni se në një tas të peshores së tillë vendosej një peshë dhe në tjetrën mallrat që peshoheshin vendoseshin dhe kur pesha ishte në ekuilibër, atëherë malli peshonte sa pesha. Natyrisht, të dy krahët e ngarkesës së peshës duhet të kenë të njëjtën gjatësi, përndryshe peshimi do të jetë i pasaktë.

Oh ne rregull. Imagjinoni një shitës që ka një peshë me levë të pabarabartë. Megjithatë, ai dëshiron të jetë i sinqertë me klientët dhe peshon mallin në dy tufa. Së pari, ai vendos një peshë në një tigan, dhe në tjetrën një sasi përkatëse mallrash - në mënyrë që peshorja të jetë në ekuilibër. Pastaj peshon "gjysmën" e dytë të mallit në mënyrë të kundërt, domethënë e vendos peshën në tasin e dytë, dhe mallin në të parën. Meqenëse duart janë të pabarabarta, "gjysmat" nuk janë kurrë të barabarta. Dhe ndërgjegjja e shitësit është e pastër dhe blerësit lavdërojnë ndershmërinë e tij: "Atë që hoqa këtu, e shtova më pas".

Megjithatë, le të hedhim një vështrim më të afërt në sjelljen e një shitësi që dëshiron të jetë i sinqertë pavarësisht peshës së pasigurt. Le të kenë krahët e peshores gjatësi a dhe b. Nëse njëri nga tasat ngarkohet me një kilogram peshë dhe tjetri me x mall, atëherë peshorja është në ekuilibër nëse ax = b herën e parë dhe bx = a herën e dytë. Pra, pjesa e parë e mallrave është e barabartë me b / një kilogram, pjesa e dytë është a / b. Pesha e mirë ka a = b, kështu që blerësi do të marrë 2 kg mall. Le të shohim se çfarë ndodh kur a ≠ b. Atëherë a – b ≠ 0 dhe nga formula e shumëzimit të reduktuar kemi

Arritëm në një rezultat të papritur: metoda në dukje e drejtë e "mesatarizimit" të matjes në këtë rast funksionon në të mirë të blerësit, i cili merr më shumë mallra.

Caktimi 5. (E rëndësishme, në asnjë mënyrë në matematikë!). Një mushkonjë peshon 2,5 miligramë, dhe një elefant pesë tonë (këto janë të dhëna mjaft të sakta). Llogaritni mesataren aritmetike, mesataren gjeometrike dhe mesataren harmonike të masave (peshave) të mushkonjave dhe elefantëve. Kontrolloni llogaritjet dhe shikoni nëse ato kanë ndonjë kuptim përveç ushtrimeve aritmetike. Le të shohim shembuj të tjerë të llogaritjeve matematikore që nuk kanë kuptim në "jetën reale". Këshillë: Ne kemi parë tashmë një shembull në këtë artikull. A do të thotë kjo se një student anonim, mendimi i të cilit gjeta në internet kishte të drejtë: "Matematika i mashtron njerëzit me numra"?

Po, jam dakord që në madhështinë e matematikës, ju mund të "mashtroni" njerëzit - çdo reklamë e dytë e shampos thotë se rrit gëzofin me disa përqindje. A do të kërkojmë shembuj të tjerë të mjeteve të dobishme të përditshme që mund të përdoren për veprimtari kriminale?

gram!

Titulli i këtij fragmenti është një folje (veta e parë shumës) jo një emër (shumës emëror prej një të mijtës së kilogramit). Harmonia nënkupton rregull dhe muzikë. Për grekët e lashtë, muzika ishte një degë e shkencës - duhet pranuar se nëse themi kështu, ne e transferojmë kuptimin aktual të fjalës "shkencë" në kohën para erës sonë. Pitagora jetoi në shekullin XNUMX para Krishtit. Ai jo vetëm që nuk dinte kompjuter, celular dhe email, por nuk dinte as kush ishin Robert Lewandowski, Mieszko I, Karli i Madh dhe Ciceroni. Ai nuk dinte as numra arabë dhe as romakë (ata hynë në përdorim rreth shekullit të XNUMX-të para Krishtit), ai nuk dinte se çfarë ishin Luftërat Punike ... Por ai dinte muzikë ...

Ai e dinte se në instrumentet me tela koeficientët e vibrimit ishin në përpjesëtim të zhdrejtë me gjatësinë e pjesëve vibruese të telit. Ai e dinte, ai e dinte, ai thjesht nuk mund ta shprehte atë siç e bëjmë ne sot.

Frekuencat e dy dridhjeve të vargut që përbëjnë një oktavë janë në një raport 1:2, domethënë, frekuenca e notës më të lartë është dyfishi i frekuencës së asaj më të ulët. Raporti i saktë i dridhjeve për të pestën është 2:3, i katërti është 3:4, i treti i pastër i madh është 4:5, i treti i vogël është 5:6. Këto janë intervale të këndshme bashkëtingëllore. Pastaj ka dy neutrale, me raporte vibrimi 6:7 dhe 7:8, pastaj ato disonante - një ton i madh (8:9), një ton i vogël (9:10). Këto fraksione (raporte) janë si raportet e anëtarëve të njëpasnjëshëm të një sekuence që matematikanët (për këtë arsye) e quajnë seri harmonike:

është një shumë teorikisht e pafundme. Raporti i lëkundjeve të oktavës mund të shkruhet 2:4 dhe të vendoset një e pesta midis tyre: 2:3:4, domethënë do ta ndajmë oktavën në një të pestën dhe një të katërt. Kjo quhet ndarje harmonike e segmentit në matematikë:

Oriz. 1. Për një muzikant: ndarja e oktavës AB në AC të pestë.Për Matematikan: Segmentimi Harmonik

Çfarë dua të them kur flas (sipër) për një shumë teorikisht të pafundme, siç është seria harmonike? Rezulton se një shumë e tillë mund të jetë çdo numër i madh, gjëja kryesore është që ne të shtojmë për një kohë të gjatë. Ka gjithnjë e më pak përbërës, por ka gjithnjë e më shumë prej tyre. Çfarë mbizotëron? Këtu hyjmë në fushën e analizës matematikore. Rezulton se përbërësit janë varfëruar, por jo shumë shpejt. Unë do të tregoj se duke marrë përbërës të mjaftueshëm, mund të përmbledh:

arbitrarisht i madh. Le të marrim "për shembull" n = 1024. Le të grupojmë fjalët siç tregohet në figurë:

Në çdo kllapa, secila fjalë është më e madhe se ajo e mëparshme, përveç, natyrisht, të fundit, e cila është e barabartë me vetveten. Në kllapat e mëposhtme kemi 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 dhe 512 komponentë; vlera e shumës në çdo kllapa është më e madhe se ½. E gjithë kjo është më shumë se 5½. Llogaritjet më të sakta do të tregonin se kjo shumë është afërsisht 7,50918. Jo shumë, por gjithmonë, dhe ju mund të shihni se duke marrë n çdo të madhe, unë mund të bëj më mirë çdo numër. Ky është tepër i ngadalshëm (për shembull, ne kryejmë dhjetëshen vetëm me përbërës), por rritja e pafund i ka magjepsur gjithmonë matematikanët.

Udhëtim drejt pafundësisë me seritë harmonike

Këtu është një enigmë për një matematikë mjaft serioze. Ne kemi një furnizim të pakufizuar të blloqeve drejtkëndëshe (çfarë mund të them, drejtkëndëshe!) me dimensione, të themi, 4 × 2 × 1. Konsideroni një sistem të përbërë nga disa (në fik. 2 - katër) blloqe, të vendosura në mënyrë që i pari të jetë i prirur për ½ e gjatësisë së tij, i dyti nga lart me ¼ dhe kështu me radhë, i treti me një të gjashtën. Epo, mbase për ta bërë atë vërtet të qëndrueshme, le ta anojmë tullën e parë pak më pak. Nuk ka rëndësi për llogaritjet.

Oriz. 2. Përcaktimi i qendrës së gravitetit

Është gjithashtu e lehtë të kuptohet se duke qenë se figura e përbërë nga dy blloqet e para (duke numëruar nga lart) ka një qendër simetrie në pikën B, atëherë B është qendra e gravitetit. Le të përcaktojmë gjeometrikisht qendrën e gravitetit të sistemit, të përbërë nga tre blloqet e sipërme. Këtu mjafton një argument shumë i thjeshtë. Le ta ndajmë mendërisht përbërjen me tre blloqe në dy të sipërme dhe një të tretë të poshtme. Kjo qendër duhet të shtrihet në pjesën që lidh qendrat e gravitetit të dy pjesëve. Në cilën pikë të këtij episodi?

Ka dy mënyra për të përcaktuar. Në të parën, do të përdorim vëzhgimin se kjo qendër duhet të shtrihet në mes të piramidës me tre blloqe, d.m.th., në një vijë të drejtë që kryqëzon bllokun e dytë, të mesëm. Në mënyrën e dytë, ne kuptojmë se meqenëse dy blloqet e sipërme kanë një masë totale prej dyfishi të masës së një blloku të vetëm #3 (lart), qendra e gravitetit në këtë seksion duhet të jetë dy herë më afër B sesa qendra. S të bllokut të tretë. Në mënyrë të ngjashme, gjejmë pikën tjetër: lidhim qendrën e gjetur të tre blloqeve me qendrën S të bllokut të katërt. Qendra e të gjithë sistemit është në lartësinë 2 dhe në pikën që ndan segmentin me 1 me 3 (d.m.th. me ¾ e gjatësisë së tij).

Llogaritjet që do të kryejmë pak më tej çojnë në rezultatin e treguar në Fig. fig. 3. Qendrat e njëpasnjëshme të gravitetit hiqen nga skaji i djathtë i bllokut të poshtëm duke:

Kështu, projeksioni i qendrës së gravitetit të piramidës është gjithmonë brenda bazës. Kulla nuk do të rrëzohet. Tani le të shohim fik. 3 dhe për një moment, le të përdorim bllokun e pestë nga lart si bazë (ai i shënuar me ngjyrën më të ndritshme). Me prirje nga lart:

pra, skaji i tij i majtë është 1 më larg se skaji i djathtë i bazës. Këtu është lëkundje tjetër:

Cila është lëkundja më e madhe? Ne tashmë e dimë! Nuk ka më të madh! Duke marrë edhe blloqet më të vogla, mund të merrni një mbingarkesë prej një kilometër - për fat të keq, vetëm matematikisht: e gjithë Toka nuk do të mjaftonte për të ndërtuar kaq shumë blloqe!

Oriz. 3. Shtoni më shumë blloqe

Tani llogaritjet që lamë më lart. Ne do t'i llogarisim të gjitha distancat "horizontalisht" në boshtin x, sepse kjo është gjithçka. Pika A (qendra e gravitetit të bllokut të parë) është 1/2 nga buza e djathtë. Pika B (qendra e sistemit me dy blloqe) është 1/4 larg skajit të djathtë të bllokut të dytë. Le të jetë pika e fillimit fundi i bllokut të dytë (tani do të kalojmë te i treti). Për shembull, ku është qendra e gravitetit të bllokut të vetëm #3? Gjysma e gjatësisë së këtij blloku, pra, është 1/2 + 1/4 = 3/4 nga pika jonë e referencës. Ku është pika C? Në dy të tretat e segmentit ndërmjet 3/4 dhe 1/4, pra në pikën më parë, ne ndryshojmë pikën e referencës në skajin e djathtë të bllokut të tretë. Qendra e gravitetit të sistemit me tre blloqe tani është hequr nga pika e re e referencës, e kështu me radhë. Qendra e gravitetit C_n një kullë e përbërë nga n blloqe është 1/2 n larg nga pika e menjëhershme e referencës, e cila është skaji i djathtë i bllokut bazë, pra blloku i n-të nga lart.

Meqenëse seria e reciprokeve ndryshon, mund të marrim ndonjë variacion të madh. A mund të zbatohet në të vërtetë kjo? Është si një kullë e pafundme tullash - herët a vonë do të shembet nën peshën e vet. Në skemën tonë, pasaktësitë minimale në vendosjen e bllokut (dhe rritja e ngadaltë e shumave të pjesshme të serisë) do të thotë se nuk do të shkojmë shumë larg.