Shtigje dhe gëmusha gjeometrike

Ndërsa shkruaja këtë artikull, m'u kujtua një këngë shumë e vjetër e Jan Pietrzak, të cilën ai e këndoi përpara aktivitetit të tij satirik në kabarenë Pod Egidą, e njohur në Republikën Popullore Polake si një valvul sigurie; mund të qeshësh sinqerisht me paradokset e sistemit. Në këtë këngë autori rekomandoi pjesëmarrjen politike socialiste, duke tallur ata që duan të jenë apolitikë dhe duke fikur radion në gazetë. "Është më mirë të ktheheni në lexim në shkollë," këndoi me ironi Petshak XNUMX-vjeçari i atëhershëm.

Po kthehem në shkollë duke lexuar. Unë po e rilexoj (jo për herë të parë) librin e Shchepan Yelensky (1881-1949) "Lylavati". Për pak lexues, vetë fjala thotë diçka. Ky është emri i vajzës së matematikanit të famshëm hindu të njohur si Bhaskara (1114-1185), i quajtur Akaria, ose i urtit që e titulloi librin e tij mbi algjebrën me këtë emër. Lilavati më vonë u bë vetë një matematikan dhe filozof i njohur. Sipas burimeve të tjera, ishte ajo që e shkroi vetë librin.

Szczepan Yelensky i dha të njëjtin titull librit të tij mbi matematikën (botimi i parë, 1926). Madje mund të jetë e vështirë ta quash këtë libër një vepër matematikore - ishte më shumë një grup enigmash, dhe kryesisht i rishkruar nga burime franceze (të drejtat e autorit në kuptimin modern nuk ekzistonin). Në çdo rast, për shumë vite ai ishte i vetmi libër popullor polak mbi matematikën - më vonë libri i dytë i Jelensky, "Ëmbëlsirat e Pitagorës", iu shtua atij. Kështu që të rinjtë e interesuar për matematikën (që është pikërisht ajo që kam qenë dikur) nuk kishin asgjë për të zgjedhur nga ...

nga ana tjetër, “Lilavati” duhej të njihej thuajse përmendësh... Ah, kishte kohë... Avantazhi më i madh i tyre ishte se unë isha... adoleshent atëherë. Sot, nga këndvështrimi i një matematikani të arsimuar, Lilavatin e shikoj në një mënyrë krejtësisht tjetër - ndoshta si një alpinist në kthesat e shtegut për në Shpiglasova Pshelench. As njëri dhe as tjetri nuk e humbin hijeshinë... Në stilin e tij karakteristik, Shchepan Yelensky, i cili në jetën e tij personale rrëfen të ashtuquajturat ide kombëtare, shkruan në parathënie:

Pa prekur përshkrimin e karakteristikave kombëtare, do të them se edhe pas nëntëdhjetë vjetësh, fjalët e Yelensky për matematikën nuk e kanë humbur rëndësinë e tyre. Matematika të mëson të mendosh. Është një fakt. A mund t'ju mësojmë të mendoni ndryshe, më thjesht dhe më bukur? Ndoshta. Thjesht... ende nuk mundemi. Unë u shpjegoj nxënësve të mi që nuk duan të bëjnë matematikë se ky është gjithashtu një test i inteligjencës së tyre. Nëse nuk mund të mësoni një teori vërtet të thjeshtë të matematikës, atëherë... ndoshta aftësitë tuaja mendore janë më të këqija sesa do të donim ne të dy...?

Shenjat në rërë

Dhe këtu është tregimi i parë në "Lylavati" - një histori e përshkruar nga filozofi francez Joseph de Maistre (1753-1821).

Një marinar nga një anije e shkatërruar u hodh nga dallgët në një breg të zbrazët, të cilin ai e konsideroi të pabanuar. Papritur, në rërën e bregdetit, ai pa një gjurmë të një figure gjeometrike të vizatuar para dikujt. Pikërisht atëherë ai kuptoi se ishulli nuk ishte i shkretë!

Duke cituar de Mestrin, Yelensky shkruan: figura gjeometrikedo të kishte qenë një shprehje e heshtur për fatkeqin, të mbyturin e anijes, rastësi, por ai ia tregoi me një shikim proporcionin dhe numrin, dhe kjo lajmëronte një njeri të ndritur. Kaq shumë për historinë.

Vini re se një marinar do të shkaktojë të njëjtin reagim, për shembull, duke vizatuar shkronjën K, ... dhe çdo gjurmë tjetër të pranisë së një personi. Këtu gjeometria idealizohet.

Megjithatë, astronomi Camille Flammarion (1847-1925) propozoi që qytetërimet të përshëndesin njëri-tjetrin nga një distancë duke përdorur gjeometrinë. Ai pa në këtë përpjekjen e vetme korrekte dhe të mundshme për komunikim. Le t'u tregojmë marsianëve të tillë trekëndëshat e Pitagorës... ata do të na përgjigjen me Thales, ne do t'u përgjigjemi me modele Vieta, rrethi i tyre do të futet në një trekëndësh, kështu filloi një miqësi...

Shkrimtarë të tillë si Zhyl Verni dhe Stanislav Lem iu kthyen kësaj ideje. Dhe në 1972, pllaka me modele gjeometrike (dhe jo vetëm) u vendosën në bordin e sondës Pioneer, e cila ende përshkon hapësirat e hapësirës, ​​tani pothuajse 140 njësi astronomike nga ne (1 I është distanca mesatare e Tokës nga Toka) . Dielli, d.m.th., rreth 149 milion km). Pllaka u projektua, pjesërisht, nga astronomi Frank Drake, krijuesi i rregullit të diskutueshëm mbi numrin e qytetërimeve jashtëtokësore.

Gjeometria është e mahnitshme. Të gjithë e dimë këndvështrimin e përgjithshëm mbi origjinën e kësaj shkence. Ne (ne njerëzit) sapo kemi filluar të masim tokën (dhe më vonë tokën) për qëllimet më utilitare. Përcaktimi i distancave, vizatimi i vijave të drejta, shënimi i këndeve të drejta dhe llogaritja e vëllimeve gradualisht u bënë një domosdoshmëri. Prandaj e gjithë kjo gjeometri ("Matja e tokës"), pra e gjithë matematika ...

Megjithatë, për ca kohë kjo pamje e qartë e historisë së shkencës na turbulloi. Sepse nëse matematika do të nevojitej vetëm për qëllime operacionale, ne nuk do të merreshim me vërtetimin e teoremave të thjeshta. "E shihni që kjo duhet të jetë fare e vërtetë," do të thoshte dikush pasi kontrollonte se në disa trekëndësha kënddrejtë shuma e katrorëve të hipotenuzës është e barabartë me katrorin e hipotenuzës. Pse një formalizëm i tillë?

Byreku me kumbulla duhet të jetë i shijshëm, programi kompjuterik duhet të funksionojë, makina duhet të funksionojë. Nëse e kam numëruar kapacitetin e fuçisë tridhjetë herë dhe gjithçka është në rregull, atëherë pse tjetër?

Ndërkohë, grekëve të lashtë u shkoi mendja se duheshin gjetur disa prova formale.

Pra, matematika fillon me Thalesin (625-547 p.e.s.). Supozohet se ishte Mileti që filloi të pyeste veten pse. Nuk u mjafton njerëzve të zgjuar që kanë parë diçka, se janë të bindur për diçka. Ata panë nevojën për prova, një sekuencë logjike argumentesh nga supozimi në tezë.

Ata gjithashtu donin më shumë. Ndoshta ishte Thales ai që u përpoq i pari të shpjegonte fenomenet fizike në një mënyrë natyraliste, pa ndërhyrje hyjnore. Filozofia evropiane filloi me filozofinë e natyrës - me atë që tashmë është prapa fizikës (prandaj emri: metafizikë). Por themelet e ontologjisë dhe filozofisë natyrore evropiane u hodhën nga pitagorianët (Pytagora, rreth 580-c. 500 pes).

Ai themeloi shkollën e tij në Crotone në jug të Gadishullit Apenin - sot do ta quajmë atë një sekt. Shkenca (në kuptimin aktual të fjalës), misticizmi, feja dhe fantazia janë të gjitha të ndërthurura ngushtë. Thomas Mann prezantoi shumë bukur mësimet e matematikës në një gjimnaz gjerman në romanin Doctor Faustus. Përkthyer nga Maria Kuretskaya dhe Witold Virpsha, ky fragment thotë:

Në librin interesant të Charles van Doren, Historia e dijes nga agimi i historisë deri në ditët e sotme, gjeta një këndvështrim shumë interesant. Në një nga kapitujt, autori përshkruan rëndësinë e shkollës së Pitagorës. Vetë titulli i kapitullit më bëri përshtypje. Ai lexon: "Shpikja e Matematikës: Pitagorianët".

Shpesh diskutojmë nëse teoritë matematikore janë duke u zbuluar (p.sh. toka të panjohura) apo shpikur (p.sh. makina që nuk ekzistonin më parë). Disa matematikanë krijues e shohin veten si studiues, të tjerë si shpikës ose projektues, më rrallë kundërvënie.

Por autori i këtij libri shkruan për shpikjen e matematikës në përgjithësi.

Nga ekzagjerimi në lajthitje

Pas kësaj pjese të gjatë hyrëse, do të kaloj në fillim. gjeometripër të përshkruar se si një mbështetje e tepërt në gjeometri mund të mashtrojë një shkencëtar. Johannes Kepler njihet në fizikë dhe astronomi si zbuluesi i tre ligjeve të lëvizjes së trupave qiellorë. Së pari, çdo planet në sistemin diellor lëviz rreth diellit në një orbitë eliptike, me diellin në një nga vatrat e tij. Së dyti, në intervale të rregullta rrezja kryesore e planetit, e tërhequr nga Dielli, tërheq fusha të barabarta. Së treti, raporti i katrorit të periudhës së rrotullimit të një planeti rreth Diellit me kubin e boshtit gjysmë të madh të orbitës së tij (d.m.th., distanca mesatare nga Dielli) është konstante për të gjithë planetët në sistemin diellor.

Ndoshta ky ishte ligji i tretë - ai kërkonte shumë të dhëna dhe llogaritje për ta vendosur atë, gjë që e shtyu Keplerin të vazhdonte të kërkonte modele në lëvizjen dhe pozicionin e planetëve. Historia e "zbulimit" të tij të ri është shumë mësimore. Që nga lashtësia, ne kemi admiruar jo vetëm poliedra të rregullta, por edhe argumente që tregojnë se ka vetëm pesë prej tyre në hapësirë. Një shumëkëndësh tredimensionale quhet i rregullt nëse faqet e tij janë shumëkëndësha të rregullt identikë dhe secila kulm ka të njëjtin numër tehe. Si ilustrim, çdo cep i një poliedri të rregullt duhet "të duket i njëjtë". Polyedri më i famshëm është kubi. Të gjithë kanë parë një kyç të zakonshëm.

Tetraedri i rregullt është më pak i njohur dhe në shkollë quhet piramida e rregullt trekëndore. Duket si një piramidë. Tre poliedrat e rregullta të mbetura janë më pak të njohura. Një oktaedron formohet kur lidhim qendrat e skajeve të një kubi. Dodekaedri dhe ikozaedri tashmë duken si topa. Të bëra prej lëkure të butë, ato do të ishin të rehatshme për t'u gërmuar. Arsyetimi se nuk ka poliedra të rregullta përveç pesë trupave të ngurtë platonike është shumë i mirë. Së pari, kuptojmë se nëse trupi është i rregullt, atëherë i njëjti numër (le q) i shumëkëndëshave të rregullt identikë duhet të konvergojë në secilën kulm, le të jenë kënde p. Tani duhet të kujtojmë se cili është këndi në një shumëkëndësh të rregullt. Nëse dikush nuk mban mend nga shkolla, ju kujtojmë se si të gjeni modelin e duhur. Bëmë një udhëtim rreth qoshes. Në çdo kulm ne kthehemi në të njëjtin kënd a. Kur kalojmë shumëkëndëshin dhe kthehemi në pikën e fillimit, kemi bërë p kthesa të tilla dhe në total kemi kthyer 360 gradë.

Por α është plotësues 180 gradë i këndit që duam të llogarisim, dhe prandaj është

Kemi gjetur formulën për këndin (një matematikan do të thoshte: masat e një këndi) të një shumëkëndëshi të rregullt. Le të kontrollojmë: në trekëndëshin p = 3, nuk ka a

Si kjo. Kur p = 4 (katror), atëherë

gradë është gjithashtu mirë.

Çfarë marrim për një pesëkëndësh? Pra, çfarë ndodh kur ka q poligone, secili p ka të njëjtat kënde

 gradë që zbresin në një kulm? Nëse do të ishte në një aeroplan, atëherë do të formohej një kënd

gradë dhe nuk mund të jetë më shumë se 360 ​​gradë - sepse atëherë poligonet mbivendosen.

Megjithatë, meqenëse këto poligone takohen në hapësirë, këndi duhet të jetë më i vogël se këndi i plotë.

Dhe këtu është pabarazia nga e cila rrjedh gjithçka:

Pjestojeni me 180, shumëzojini të dyja pjesët me p, renditni (p-2) (q-2) < 4. Çfarë vijon? Le të jemi të vetëdijshëm se p dhe q duhet të jenë numra natyrorë dhe se p > 2 (pse? Dhe çfarë është p?) dhe gjithashtu q > 2. Nuk ka shumë mënyra për ta bërë produktin e dy numrave natyrorë më pak se 4. Ne Do t'i listoj të gjitha në tabelën 1.

Unë nuk postoj vizatime, të gjithë mund t'i shohin këto figura në internet... Në internet... Nuk do të refuzoj një digresion lirik - ndoshta është interesant për lexuesit e rinj. Në vitin 1970 fola në një seminar. Tema ishte e vështirë. Kisha pak kohë për t'u përgatitur, rrija në mbrëmje. Artikulli kryesor ishte vetëm për lexim në vend. Vendi ishte komod, me një atmosferë pune, mirë, u mbyll në shtatë. Atëherë nusja (tani gruaja ime) më ofroi të rishkruaj të gjithë artikullin për mua: rreth një duzinë faqe të shtypura. E kopjova (jo, jo me stilolaps, madje kishim stilolapsa), leksioni ishte i suksesshëm. Sot u përpoqa të gjej këtë botim, i cili tashmë është i vjetër. Mbaj mend vetëm emrin e autorit... Kërkimet në internet zgjatën shumë... plot pesëmbëdhjetë minuta. E mendoj me një buzëqeshje dhe pak keqardhje të pajustifikuar.

Ne kthehemi në Keplera dhe gjeometria. Me sa duket, Platoni parashikoi ekzistencën e formës së pestë të rregullt, sepse i mungonte diçka unifikuese, që mbulonte të gjithë botën. Ndoshta kjo është arsyeja pse ai udhëzoi një studente (Theajtet) ta kërkonte atë. Siç ishte, ashtu ishte, në bazë të së cilës u zbulua dodekaedri. Ne e quajmë këtë qëndrim të Platonit panteizëm. Të gjithë shkencëtarët, deri te Njutoni, iu nënshtruan kësaj në një masë më të madhe ose më të vogël. Që nga shekulli shumë racional i tetëmbëdhjetë, ndikimi i tij është zvogëluar në mënyrë drastike, megjithëse nuk duhet të turpërohemi për faktin që të gjithë i nënshtrohemi në një mënyrë ose në një tjetër.

Në konceptin e Keplerit për ndërtimin e sistemit diellor, gjithçka ishte e saktë, të dhënat eksperimentale përkonin me teorinë, teoria ishte logjikisht koherente, shumë e bukur ... por krejtësisht e rreme. Në kohën e tij njiheshin vetëm gjashtë planetë: Mërkuri, Venusi, Toka, Marsi, Jupiteri dhe Saturni. Pse ka vetëm gjashtë planetë? Pyeti Kepleri. Dhe çfarë rregullsie përcakton distancën e tyre nga Dielli? Ai supozoi se gjithçka ishte e lidhur, se gjeometria dhe kozmogonia janë të lidhura ngushtë me njëra-tjetrën. Nga shkrimet e grekëve të lashtë, ai e dinte se kishte vetëm pesë poliedra të rregullta. Ai pa se kishte pesë zbrazëti midis gjashtë orbitave. Pra, ndoshta secila prej këtyre hapësirave të lira korrespondon me ndonjë poliedron të rregullt?

Pas disa vitesh vëzhgimi dhe pune teorike, ai krijoi teorinë e mëposhtme, me ndihmën e së cilës llogariti me mjaft saktësi përmasat e orbitave, të cilat i paraqiti në librin "Mysterium Cosmographicum", botuar në vitin 1596: Imagjinoni një sferë gjigante, diametri i të cilit është diametri i orbitës së Mërkurit në lëvizjen e tij vjetore rreth diellit. Atëherë imagjinoni që në këtë sferë ka një tetëedron të rregullt, mbi të një sferë, mbi të një ikozaedron, mbi të përsëri një sferë, mbi të një dodekaedron, mbi të një sferë tjetër, mbi të një Tetraedron, pastaj përsëri një sferë, një kub dhe, së fundi, në këtë kub përshkruhet topi.

Kepler arriti në përfundimin se diametrat e këtyre sferave të njëpasnjëshme ishin diametrat e orbitave të planetëve të tjerë: Mërkuri, Venusi, Toka, Marsi, Jupiteri dhe Saturni. Teoria dukej se ishte shumë e saktë. Fatkeqësisht, kjo përkoi me të dhënat eksperimentale. Dhe çfarë dëshmie më të mirë për korrektësinë e një teorie matematikore sesa korrespondenca e saj me të dhënat eksperimentale ose të dhëna vëzhguese, veçanërisht "të marra nga parajsa"? Unë i përmbledh këto llogaritje në tabelën 2. Pra, çfarë bëri Kepleri? Unë u përpoqa dhe u përpoqa derisa funksionoi, domethënë kur konfigurimi (rendi i sferave) dhe llogaritjet që rezultuan përkonin me të dhënat e vëzhgimit. Këtu janë shifrat dhe llogaritjet moderne të Keplerit:

Dikush mund t'i nënshtrohet magjepsjes së teorisë dhe të besojë se matjet në qiell janë të pasakta, dhe jo llogaritjet e bëra në heshtjen e një punishteje. Fatkeqësisht, sot e dimë se ka të paktën nëntë planetë dhe se të gjitha rastësitë e rezultateve janë thjesht një rastësi. Gjynah. Ishte kaq e bukur...