Sheshe me ngjyra dhe eklipse diellore

Artikulli përshkruan klasat e mia për nxënësit e shkollave të mesme - mbajtës të bursave të Fondit Kombëtar të Fëmijëve. Fondacioni kërkon fëmijë dhe të rinj veçanërisht të talentuar (nga klasa XNUMX e shkollës fillore deri në shkollën e mesme) dhe ofron "bursa" për studentët e përzgjedhur. Sidoqoftë, ato nuk konsistojnë aspak në tërheqjen e parave, por në kujdesin gjithëpërfshirës për zhvillimin e talentit, si rregull, gjatë shumë viteve. Ndryshe nga shumë projekte të tjera të këtij lloji, shkencëtarë të njohur, figura kulturore, humanistë të shquar dhe njerëz të tjerë të mençur, si dhe disa politikanë, i marrin seriozisht repartet e Fondacionit.

Veprimtaria e Fondacionit shtrihet në të gjitha disiplinat që janë lëndë bazë shkollore, përveç sportit, përfshirë edhe artin. Fondi u krijua në vitin 1983 si një kundërhelm ndaj realitetit të atëhershëm. Çdokush mund të aplikojë në fond (zakonisht përmes një shkolle, mundësisht para përfundimit të vitit shkollor), por, natyrisht, ka një sitë të caktuar, një procedurë të caktuar kualifikimi.

Siç e përmenda tashmë, artikulli bazohet në klasat e mia master, konkretisht në Gdynia, në mars 2016, në shkollën e mesme të 24-të të shkollës së mesme të III-të. Marina. Prej shumë vitesh, këto seminare organizohen nën kujdesin e Fondacionit nga Wojciech Thomalczyk, një mësues me karizëm të jashtëzakonshëm dhe nivel të lartë intelektual. Në vitin 2008, ai hyri në dhjetëshen e parë në Poloni, të cilëve iu dha titulli Profesor i Pedagogjisë (i parashikuar me ligj shumë vite më parë). Ka një ekzagjerim të lehtë në deklaratën: "Arsimi është boshti i botës".

dhe hëna janë gjithmonë magjepsëse - atëherë mund të ndjeni se jetojmë në një planet të vogël në një hapësirë ​​të madhe, ku gjithçka është në lëvizje, e matur në centimetra dhe sekonda. Madje më tremb pak, edhe perspektiva kohore. Mësojmë se eklipsi tjetër i plotë, i dukshëm nga zona e Varshavës së sotme, do të jetë në ... 2681. Pyes veten se kush do ta shohë atë? Madhësitë e dukshme të Diellit dhe Hënës në qiellin tonë janë pothuajse të njëjta - kjo është arsyeja pse eklipset janë kaq të shkurtra dhe kaq spektakolare. Për shekuj, këto minuta të shkurtra duhet të jenë të mjaftueshme që astronomët të shohin kurorën diellore. Është e çuditshme që ato ndodhin dy herë në vit... por kjo do të thotë vetëm se diku në Tokë mund të shihen për një periudhë të shkurtër kohore. Si rezultat i lëvizjeve të baticës, Hëna po largohet nga Toka - në 260 milion vjet do të jetë aq larg sa ne (ne???) do të shohim vetëm eklipse unazore.

Me sa duket i pari që parashikoi Eklips, ishte Thales i Miletit (shek. 28-585 p.e.s.). Ne ndoshta nuk do ta dimë nëse ka ndodhur në të vërtetë, pra nëse ai e ka parashikuar, sepse fakti që eklipsi në Azinë e Vogël ndodhi në maj 567, 566 para Krishtit, është një fakt i konfirmuar nga llogaritjet moderne. Sigurisht, unë citoj të dhëna për llogaritjen e sotme të kohës. Kur isha fëmijë, imagjinoja se si njerëzit numëronin vitet. Pra, kjo është, për shembull, XNUMX para Krishtit, nata e Vitit të Ri po vjen dhe njerëzit po gëzohen: vetëm XNUMX vjet para Krishtit! Sa të lumtur duhet të kenë qenë kur më në fund mbërriti «epoka jonë»! Çfarë kthese mijëvjeçarësh që përjetuam disa vite më parë!

Matematika e llogaritjes së datave dhe intervaleve eklipset, nuk është veçanërisht i ndërlikuar, por është i mbushur me të gjitha llojet e faktorëve që lidhen me rregullsinë dhe, akoma më keq, me lëvizjen e pabarabartë të trupit në orbita. Unë madje do të doja ta dija këtë matematikë. Si mundi Thalesi i Miletit të bënte llogaritjet e nevojshme? Përgjigja është e thjeshtë. Duhet të keni një hartë qielli. Si të bëni një hartë të tillë? Kjo gjithashtu nuk është e vështirë, egjiptianët e lashtë dinin ta bënin. Në mesnatë, dy priftërinj dalin në çatinë e tempullit. Secili prej tyre ulet dhe vizaton atë që sheh (si kolegu i tij). Pas dy mijë vjetësh, ne dimë gjithçka për lëvizjen e planetëve ...

Gjeometri e bukur, apo argëtim në "qilim"

Grekët nuk i pëlqenin numrat, ata iu drejtuan gjeometrisë. Kjo është ajo që ne do të bëjmë. Tona Eklips ato do të jenë të thjeshta, plot ngjyra, por po aq interesante dhe reale. Ne e pranojmë konventën që figura blu të lëvizë në mënyrë të tillë që të eklipsojë atë të kuqe. Figurën blu le ta quajmë hënë, dhe figurën e kuqe diell. Ne i bëjmë vetes pyetjet e mëposhtme:

1. sa zgjat një eklips;
2. kur gjysma e objektivit është e mbuluar;

   Oriz. 1 "Qilim" shumëngjyrësh me diellin dhe hënën

3. sa është mbulimi maksimal;
4. a është e mundur të analizohet varësia e mbulimit të mburojës në kohë? Në këtë artikull (jam i kufizuar nga sasia e tekstit) do të ndalem në pyetjen e dytë. Pas kësaj është një gjeometri e bukur, ndoshta pa llogaritje të mërzitshme. Le të shohim fig. 1. A mund të supozohet se do të shoqërohet me ... një eklips diellor?

Duhet të them sinqerisht se detyrat që do të diskutoj do të jenë të përzgjedhura posaçërisht, të përshtatura me njohuritë dhe aftësitë e nxënësve të shkollave të mesme dhe të mesme. Por ne stërvitemi për detyra të tilla si muzikantët luajnë peshore dhe atletët bëjnë ushtrime të përgjithshme zhvillimore. Veç kësaj, a nuk është vetëm një qilim i bukur (fig. 1)?

Oriz. 2 Hëna "Blu" dhe Dielli "Kuq".

Trupat tanë qiellorë, të paktën fillimisht, do të jenë katrorë me ngjyrë. Hëna është blu, dielli është i kuq (më i miri për t'u ngjyrosur). me të tashmen Eklips Hëna e ndjek diellin nëpër qiell, e kap ... dhe e mbyll atë. Kështu do të jetë edhe me ne. Rasti më i thjeshtë, kur Hëna lëviz në lidhje me Diellin, siç tregohet në Fig. 2. Një eklips fillon kur skaji i diskut të Hënës prek skajin e diskut të Diellit (Fig. 2) dhe përfundon kur ai shkon përtej tij.

Oriz. 3 Hëna i afrohet diellit diagonalisht

Supozojmë se "Hëna" lëviz një qelizë për njësi të kohës, për shembull, në minutë. Më pas eklipsi zgjat tetë njësi kohore, le të themi minuta. Gjysma eklipset diellore plotësisht e zbehur Gjysma e numrit mbyllet dy herë: pas 2 dhe 6 minutash. Grafiku i errësimit të përqindjes është i thjeshtë. Gjatë dy minutave të para, mburoja mbyllet në mënyrë të barabartë me një shpejtësi prej zero deri në 1, dy minutat e ardhshme ekspozohet me të njëjtën shpejtësi.

Këtu është një shembull më interesant (Fig. 3). Hëna i afrohet diellit në mënyrë diagonale. Sipas marrëveshjes sonë të pagesës për minutë, eklipsi zgjat 8√2 minuta - në mes të kësaj kohe kemi një eklips total. Le të llogarisim se cila pjesë e diellit është e mbuluar pas kohës t (Fig. 3). Nëse kanë kaluar t minuta nga fillimi i eklipsit, dhe si rezultat Hëna është siç tregohet në Fig. 5, atëherë (vëmendje!) Prandaj, është e mbuluar (sipërfaqja e katrorit APQR), e barabartë me gjysmën e diskut diellor; prandaj, është mbuluar kur, d.m.th. pas 4 minutash (pastaj 4 minuta para përfundimit të eklipsit).

Oriz. 4 Grafiku i funksionit "hije".

Tërësia zgjat një moment (t = 4√2), dhe grafiku i funksionit "pjesa e hijezuar" përbëhet nga dy harqe parabolash (Fig. 4).

Hëna jonë blu do të prekë këndin me diellin e kuq, por do ta mbulojë atë, duke shkuar jo diagonalisht, por pak diagonalisht.Gjeometria interesante shfaqet kur e ndërlikojmë pak lëvizjen (Fig. 6). Drejtimi i lëvizjes tani është vektor [4,3], domethënë "katër qeliza në të djathtë, tre qeliza lart". Pozicioni i Diellit është i tillë që eklipsi fillon (pozicioni A) kur anët e "trupave qiellorë" konvergjojnë në një të katërtën e gjatësisë së tyre. Kur Hëna lëviz në pozicionin B, ajo do të eklipsojë një të gjashtën e Diellit, dhe në pozicionin C do të eklipsojë gjysmën. Në pozicionin D, kemi një eklips total, dhe më pas gjithçka kthehet prapa, "siç ishte".

Oriz. 5 Një pjesë e Diellit e fshehur gjatë kohës t

Eklipsi përfundon kur Hëna është në pozicionin G. Ai zgjati aq sa gjatësia e seksionit AG. Nëse, si më parë, marrim si njësi kohore kohën gjatë së cilës Hëna kalon "një katror", atëherë gjatësia e AG është e barabartë. Nëse i ktheheshim konventës së vjetër se trupat tanë qiellorë janë 4 me 4, rezultati do të ishte i ndryshëm (çfarë?). Siç mund të tregohet lehtë, objektivi mbyllet pas t < 15. Grafiku i funksionit “përqindja e mbulimit të ekranit” mund të shihet në fig. 6.

Oriz. 6 Grafiku i funksionit "mbrojtje për qind".

Ekuacioni i eklipsit dhe kërcimit

Oriz. 7 Pengimi i diskut diellor gjatë eklipsit të paraqitur në fig. 6

Problemi i eklipseve do të ishte i paplotë nëse nuk do të kishim parasysh rastin e rrathëve. Kjo është shumë më e ndërlikuar, por le të përpiqemi të kuptojmë kur një rreth eklipson gjysmën e tjetrit - dhe në rastin më të thjeshtë, kur njëri prej tyre lëviz përgjatë diametrit që i lidh të dy. Vizatimi është i njohur për mbajtësit e një karte krediti.

Llogaritja e pozicionit të fushave është e ndërlikuar, pasi kërkon, së pari, njohuri të formulës për sipërfaqen e një segmenti rrethor, së dyti, njohuri për harkun e këndit dhe së treti (dhe më e keqja nga të gjitha), aftësinë për të zgjidhur një ekuacion të caktuar kërcimi. Unë nuk do të shpjegoj se çfarë është një "ekuacion kalimtar", le të shohim një shembull (Fig. 8).

Oriz. 8 Eklipsi "sferik".

Një seksion rrethor është "kupa" që mbetet pas prerjes së një rrethi me një vijë të drejtë. Zona e një segmenti të tillë është S = 1/2r²(φ-sinφ), ku r është rrezja e rrethit, dhe φ është këndi qendror në të cilin mbështetet segmenti (Fig. 8). Kjo arrihet lehtësisht duke zbritur sipërfaqen e trekëndëshit nga zona e sektorit rrethor.

Episodi O₁O₂ (distanca midis qendrave të rrathëve) atëherë është e barabartë me 2rcosφ/2, dhe lartësia (gjerësia, "vija e belit") h = 2rsinφ/2. Pra, nëse duam të llogarisim se kur Hëna do të mbulojë gjysmën e diskut diellor, duhet të zgjidhim ekuacionin: i cili, pas thjeshtimit, bëhet:

Oriz. 9 Grafikët e dy funksioneve

Zgjidhja e ekuacioneve të tilla shkon përtej algjebrës së thjeshtë - ekuacioni përmban të dy këndet dhe funksionet e tyre trigonometrike. Ekuacioni është përtej mundësive të metodave tradicionale. Prandaj quhet per tu hedhur. Le të shikojmë fillimisht grafikët e të dy funksioneve, pra funksionet dhe funksionet.Nga kjo figurë mund të lexojmë një zgjidhje të përafërt. Megjithatë, ne mund të marrim një përafrim përsëritës ose… të përdorim opsionin Zgjidhës në tabelën e Excel-it. Çdo gjimnazist duhet të jetë në gjendje ta bëjë këtë, sepse është shekulli i 20-të. Kam përdorur një mjet më të sofistikuar Mathematica dhe këtu është zgjidhja jonë me XNUMX vende dhjetore të saktësisë së panevojshme:

SetPrecision[FindRoot[x==Sin[x]+Pi/2,{x,2}],20] {x⇒2.3098814600100574523}.

Oriz. 10 Animacion i eklipsit në matematica

Këtë e kthejmë në gradë duke e shumëzuar me 180/π. Marrim 132 gradë, 20 minuta, 45 dhe një çerek sekonde harku. Ne llogarisim se distanca nga qendra e rrethit është O₁O₂ = 0,808 rreze, dhe "bel" 2,310.