PRA KUJT, pra: PROVO KU MUND TË - pjesa 2

Në episodin e mëparshëm, u trajtuam me Sudoku, një lojë aritmetike në të cilën numrat në thelb renditen në diagrame të ndryshme sipas rregullave të caktuara. Varianti më i zakonshëm është një tabelë shahu 9×9, e ndarë gjithashtu në nëntë qeliza 3×3. Numrat nga 1 deri në 9 duhet të vendosen mbi të në mënyrë që të mos përsëriten as në një rresht vertikal (matematicienët thonë: në një kolonë) as në një rresht horizontal (matematicienët thonë: me radhë) - dhe, për më tepër, në mënyrë që nuk përsëriten. përsërisni brenda çdo katrori më të vogël.

Na fik. 1 ne e shohim këtë enigmë në një version më të thjeshtë, i cili është një katror 6 × 6 i ndarë në drejtkëndësha 2 × 3. Ne fusim në të numrat 1, 2, 3, 4, 5, 6 - në mënyrë që ata të mos përsëriten vertikalisht, as. horizontalisht, as në secilin nga gjashtëkëndëshat e përzgjedhur.

Le të përpiqemi të tregojmë në katrorin e sipërm. A mund ta plotësoni me numra nga 1 deri në 6 sipas rregullave të vendosura për këtë lojë? Është e mundur - por e paqartë. Le të shohim - vizatoni një katror në të majtë ose një shesh në të djathtë.

Mund të themi se kjo nuk është baza për enigmën. Zakonisht supozojmë se një enigmë ka një zgjidhje. Detyra për të gjetur baza të ndryshme për Sudokun "e madh", 9x9, është një detyrë e vështirë dhe nuk ka asnjë shans për ta zgjidhur plotësisht.

Një tjetër lidhje e rëndësishme është sistemi kontradiktor. Sheshi i mesit të poshtëm (ai me numrin 2 në këndin e poshtëm djathtas) nuk mund të plotësohet. Pse?

Argëtim dhe tërheqje

Ne luajmë. Le të përdorim intuitën e fëmijëve. Ata besojnë se argëtimi është një hyrje në të mësuarit. Le të shkojmë në hapësirë. i ndezur fik. 2 të gjithë e shohin rrjetin katërkëndëshnga topat, për shembull, topat e ping-pongut? Kujtoni mësimet e gjeometrisë së shkollës. Ngjyrat në anën e majtë të figurës shpjegojnë se me çfarë është ngjitur kur montoni bllokun. Në veçanti, tre topa qoshe (të kuq) do të ngjiten në një. Prandaj, ata duhet të jenë të njëjtin numër. Ndoshta 9. Pse? Dhe pse jo?

Oh, nuk e shpreha detyrat. Tingëllon diçka si kjo: a është e mundur të futen numrat nga 0 në 9 në rrjetin e dukshëm në mënyrë që çdo fytyrë të përmbajë të gjithë numrat? Detyra nuk është e vështirë, por sa duhet të imagjinoni! Nuk do të prish kënaqësinë e lexuesve dhe nuk do të jap zgjidhje.

Kjo është një formë shumë e bukur dhe e nënvlerësuar. oktaedrin e rregullt, i ndërtuar nga dy piramida (=piramida) me bazë katrore. Siç sugjeron emri, oktaedri ka tetë fytyra.

Ka gjashtë kulme në një tetëedron. Ajo bie ndesh kubi cili ka gjashtë faqe dhe tetë kulme. Skajet e të dy gungave janë të njëjta - dymbëdhjetë secila. Kjo trupat e dyfishtë - kjo do të thotë që duke lidhur qendrat e faqeve të kubit marrim një tetëkëndësh, dhe qendrat e faqeve të tetëkëndëshit do të na japin një kub. Të dyja këto gunga funksionojnë ("sepse duhet") Formula e Euler: Shuma e numrit të kulmeve dhe numri i faqeve është 2 më shumë se numri i skajeve.

3. Një tetëkëndësh i rregullt në projeksion paralel dhe një rrjetë tetëkëndësh e përbërë nga sfera në mënyrë të tillë që çdo skaj të ketë katër sfera.

Punë 1. Së pari, shkruani fjalinë e fundit të paragrafit të mëparshëm duke përdorur një formulë matematikore. Në fik. 3 ju shihni një rrjet oktaedral, i përbërë gjithashtu nga sfera. Çdo skaj ka katër topa. Çdo faqe është një trekëndësh prej dhjetë sferash. Problemi vendoset në mënyrë të pavarur: a është e mundur të vendosen numra nga 0 në 9 në rrathët e rrjetës në mënyrë që pas ngjitjes së një trupi të fortë, çdo mur të përmbajë të gjithë numrat (rrjedh që pa përsëritje). Si më parë, vështirësia më e madhe në këtë detyrë është se si rrjeta shndërrohet në një trup të fortë. Nuk mund ta shpjegoj me shkrim, ndaj zgjidhjen nuk po e jap as ketu.

4. Dy ikozaedone nga topat e ping-pongut. Vini re skemën e ndryshme të ngjyrave.

tashmë Platoni (dhe ai jetoi në shekujt XNUMX-XNUMX p.e.s.) njihte të gjitha poliedrat e rregullt: katërkëndësh, kubike, tetëkëndësh, dodekededri i ikozahedri. Është e mahnitshme se si ai arriti atje - pa laps, pa letër, pa stilolaps, pa libra, pa smartphone, pa internet! Nuk do të flas këtu për dodekaedrin. Por sudoku ikozaedral është interesant. Ne e shohim këtë gungë ilustrimi 4dhe rrjetin e tij fig. 5.

5. Rrjetë e rregullt e ikozaedrit.

Si më parë, kjo nuk është një rrjet në kuptimin që kujtojmë (?!) nga shkolla, por një mënyrë për të ngjitur trekëndëshat nga topat (topat).

Punë 2. Sa topa nevojiten për të ndërtuar një ikozaedron të tillë? A është ende i vërtetë arsyetimi i mëposhtëm: meqenëse secila faqe është një trekëndësh, nëse duhet të ketë 20 faqe, atëherë nevojiten deri në 60 sfera?

6. Rrjeti i një ikozaedri nga sferat. Çdo rreth është, për shembull, një top ping-pongu, por ndërtimi i rrathëve në rrathë të shënuar me të njëjtën ngjyrë shkrihet në një. Pra, ne kemi dymbëdhjetë sfera (= dymbëdhjetë kulme: e kuqe, blu, vjollcë, blu dhe tetë e verdha).

Është e lehtë të shihet se tre numra në ikozaedron nuk janë të mjaftueshëm. Më saktësisht: është e pamundur të numërohen kulmet me numrat 1, 2, 3 në mënyrë që secila faqe (trekëndore) të ketë këta tre numra dhe të mos ketë përsëritje. A është e mundur me katër numra? Po është e mundur! Le të shohim Oriz. 6 dhe 7.

7. Ja si të numërohen sferat që përbëjnë ikozaedrin në mënyrë që çdo faqe të përmbajë numra të ndryshëm nga 1, 2, 3, 4. Cili nga trupat në fig. 4 është me ngjyrë kështu?

Punë 3. Tre nga katër numrat mund të zgjidhen në katër mënyra: 123, 124, 134, 234. Gjeni pesë trekëndësha të tillë në ikozaedrin në fig. 7 (si dhe nga ilustrime 4).

Caktimi 4 (kërkon imagjinatë shumë të mirë hapësinore). Ikozaedroni ka dymbëdhjetë kulme, që do të thotë se mund të ngjitet së bashku nga dymbëdhjetë topa (fik. 7). Vini re se ka tre kulme (=topa) të etiketuara me 1, tre me 2, e kështu me radhë. Kështu, topat me të njëjtën ngjyrë formojnë një trekëndësh. Çfarë është ky trekëndësh? Ndoshta barabrinjës? Shiko përsëri ilustrime 4.

Detyra tjetër për gjyshin / gjyshen dhe nipin / mbesën. Më në fund edhe prindërit mund të provojnë dorën e tyre, por ata kanë nevojë për durim dhe kohë.

Punë 5. Blini dymbëdhjetë (mundësisht 24) topa ping-pongu, nja katër ngjyra bojë, një furçë dhe ngjitësin e duhur - nuk i rekomandoj ato të shpejta si Superglue ose Droplet sepse thahen shumë shpejt dhe janë të rrezikshëm për fëmijët. Ngjiteni në ikozaedron. Vishni mbesën tuaj me një bluzë që do të lahet (ose do të hidhet) menjëherë më pas. Mbulojeni tryezën me fletë metalike (mundësisht me gazeta). Ngjyrosni me kujdes ikozaedrin me katër ngjyra 1, 2, 3, 4, siç tregohet në fig. fik. 7. Ju mund të ndryshoni rendin - fillimisht ngjyrosni balonat dhe më pas ngjitini ato. Në të njëjtën kohë, rrathët e vegjël duhet të lihen të palyer në mënyrë që boja të mos ngjitet në bojë.

Tani detyra më e vështirë (më saktë, e gjithë sekuenca e tyre).

Caktimi 6 (Më konkretisht, tema e përgjithshme). Paraqitni ikozaedrin si katërkëndor dhe një tetëedron mbi të Oriz. 2 dhe 3 Kjo do të thotë që duhet të ketë katër topa në çdo skaj. Në këtë variant, detyra kërkon kohë dhe madje edhe të kushtueshme. Le të fillojmë duke zbuluar se sa topa ju nevojiten. Secila faqe ka dhjetë sfera, kështu që ikozaedri ka nevojë për dyqind? Jo! Duhet të kujtojmë se shumë topa ndahen. Sa skaje ka një ikozaedron? Mund të llogaritet me kujdes, por për çfarë shërben formula e Euler-it?

w–k+s=2

ku w, k, s janë respektivisht numri i kulmeve, skajeve dhe faqeve. Kujtojmë se w = 12, s = 20, që do të thotë k = 30. Kemi 30 skaje të ikozaedrit. Mund ta bëni ndryshe, sepse nëse ka 20 trekëndësha, atëherë ato kanë vetëm 60 skaje, por dy prej tyre janë të zakonshme.

Le të llogarisim sa topa ju nevojiten. Në çdo trekëndësh ka vetëm një top të brendshëm - as në majë të trupit tonë, as në buzë. Kështu, kemi gjithsej 20 topa të tillë. Ka 12 maja. Çdo skaj ka dy topa jo kulm (ato janë brenda buzës, por jo brenda fytyrës). Meqenëse ka 30 skaj, ka 60 mermere, por dy prej tyre janë të përbashkëta, që do të thotë se ju nevojiten vetëm 30 mermere, pra ju nevojiten gjithsej 20 + 12 + 30 = 62 mermere. Topat mund të blihen për të paktën 50 qindarkë (zakonisht më të shtrenjtë). Nëse shtoni koston e ngjitësit, do të dalë ... shumë. Ngjitja e mirë kërkon disa orë punë të mundimshme. Së bashku ata janë të përshtatshëm për një kalim kohe relaksuese - unë i rekomandoj në vend që, për shembull, të shikojnë TV.

Tërheqje 1. Në serinë e filmave të Andrzej Wajda-s Vite, Ditë, dy burra luajnë shah "sepse duhet të kalojnë disi kohën deri në darkë". Ajo zhvillohet në Krakovin Galician. Në të vërtetë: gazetat tashmë janë lexuar (atëherë kishin 4 faqe), TV dhe telefoni ende nuk janë shpikur, nuk ka ndeshje futbolli. Mërzia në pellgje. Në një situatë të tillë, njerëzit dolën me argëtim për veten e tyre. Sot i kemi pasi kemi shtypur telekomandën...

Tërheqje 2. Në takimin e vitit 2019 të Shoqatës së Mësuesve të Matematikës, një profesor spanjoll demonstroi një program kompjuterik që mund të pikturojë mure të forta në çdo ngjyrë. Ishte pak rrëqethëse, sepse vizatuan vetëm duart, thuajse e prenë trupin. Mendova me vete: sa argëtim mund të kesh nga një "hije" e tillë? Gjithçka zgjat dy minuta, dhe nga e katërta nuk mbajmë mend asgjë. Ndërkohë, “punët e gjilpërave” të modës së vjetër qetësojnë dhe edukojnë. Kush nuk beson le të provojë.

Le të kthehemi në shekullin XNUMX dhe në realitetet tona. Nëse nuk duam relaksim në formën e ngjitjes së mundimshme të topave, atëherë do të vizatojmë të paktën një rrjet të një ikozaedri, skajet e të cilit kanë katër topa. Si ta bëjmë atë? Prisni siç duhet fig. 6. Lexuesi i vëmendshëm tashmë e merr me mend problemin:

Punë 7. A është e mundur të numërohen topat me numra nga 0 në 9 në mënyrë që të gjithë këta numra të shfaqen në secilën faqe të një ikozaedri të tillë?

Për çfarë po paguhemi?

Sot ne shpesh i bëjmë vetes pyetjen se cili është qëllimi i aktiviteteve tona dhe "tatimpaguesi gri" do të pyesë pse duhet të paguajë matematikanët për të zgjidhur enigma të tilla?

Përgjigja është goxha e thjeshtë. Të tilla "puzzle", interesante në vetvete, janë "një fragment i diçkaje më serioze". Në fund të fundit, paradat ushtarake janë vetëm një pjesë e jashtme, spektakolare e një shërbimi të vështirë. Do të jap vetëm një shembull, por do të filloj me një lëndë matematikore të çuditshme, por të njohur ndërkombëtarisht. Në 1852, një student anglez pyeti profesorin e tij nëse ishte e mundur të ngjyroset një hartë me katër ngjyra në mënyrë që vendet fqinje të shfaqen gjithmonë me ngjyra të ndryshme? Më lejoni të shtoj se ne nuk i konsiderojmë "fqinjë" ata që takohen vetëm në një pikë, siç janë shtetet Wyoming dhe Utah në SHBA. Profesori nuk e dinte... dhe problemi priste një zgjidhje për më shumë se njëqind vjet.

8. Ikozaedron nga blloqet RECO. Reflektorët e ndezjes tregojnë se çfarë ka të përbashkët ikozaedri me trekëndëshin dhe pesëkëndëshin. Pesë trekëndësha konvergojnë në çdo kulm.

Ndodhi në një mënyrë të papritur. Në vitin 1976, një grup matematikanësh amerikanë shkroi një program për të zgjidhur këtë problem (dhe ata vendosën: po, katër ngjyra do të jenë gjithmonë të mjaftueshme). Kjo ishte prova e parë e një fakti matematikor të marrë me ndihmën e një "makine matematikore" - siç quhej një kompjuter gjysmë shekulli më parë (dhe edhe më herët: "truri elektronik").

Këtu është një "hartë e Evropës" e treguar posaçërisht (fik. 9). Ato vende që kanë një kufi të përbashkët janë të lidhur. Ngjyrosja e hartës është e njëjtë me ngjyrosjen e rrathëve të këtij grafiku (i quajtur grafik) në mënyrë që asnjë rreth të lidhur të mos ketë të njëjtën ngjyrë. Një vështrim në Lihtenshtajn, Belgjikë, Francë dhe Gjermani tregon se tre ngjyra nuk mjaftojnë. Nëse dëshironi, lexues, ngjyrosni me katër ngjyra.

9. Kush kufizohet me kë në Evropë?

Epo, po, por a ia vlen paratë e taksapaguesve? Pra, le ta shohim të njëjtin grafik pak më ndryshe. Harrojeni se ka shtete dhe kufij. Lërini rrathët të simbolizojnë paketat e informacionit që do të dërgohen nga një pikë në tjetrën (për shembull, nga P në EST), dhe segmentet përfaqësojnë lidhjet e mundshme, secila prej të cilave ka gjerësinë e brezit të vet. Dërgo sa më shpejt të jetë e mundur?

Së pari, le të shohim një situatë shumë të thjeshtuar, por edhe shumë interesante nga pikëpamja matematikore. Duhet të dërgojmë diçka nga pika S (= si fillim) në pikën M (= mbarim) duke përdorur një rrjet lidhjeje me të njëjtën gjerësi bande, le të themi 1. Këtë e shohim në fik. 10.

10. Rrjeti i lidhjeve nga Statsyika Zdrój në Megapolis.

Le të imagjinojmë se rreth 89 bit informacioni duhet të dërgohen nga S në M. Autorit të këtyre fjalëve i pëlqejnë problemet me trenat, ndaj imagjinon se është menaxher në Stacie Zdrój, nga ku duhet të dërgojë 144 vagona. në stacionin e metropolit. Pse pikërisht 144? Sepse, siç do të shohim, kjo do të përdoret për të llogaritur xhiron e të gjithë rrjetit. Kapaciteti është 1 në çdo lot, d.m.th. një makinë mund të kalojë për njësi kohore (një bit informacioni, mundësisht edhe Gigabyte).

Le të sigurohemi që të gjitha makinat të takohen në të njëjtën kohë në M. Të gjithë arrijnë atje në 89 njësi kohore. Nëse kam një paketë informacioni shumë të rëndësishme nga S në M për të dërguar, e ndaj në grupe prej 144 njësive dhe e shtyj si më sipër. Matematika garanton se kjo do të jetë më e shpejta. Si e dija që ju duhen 89? Në fakt e mora me mend, por nëse nuk do ta merrja me mend, do të më duhej ta kuptoja ekuacionet Kirchhoff (a mban mend dikush? - këto janë ekuacione që përshkruajnë rrjedhën e rrymës). Gjerësia e brezit të rrjetit është 184/89, që është afërsisht e barabartë me 1,62.

Rreth gëzimit

Meqë ra fjala, më pëlqen numri 144. Më pëlqeu të hipja në autobus me këtë numër për në Sheshin e Kalasë në Varshavë - kur nuk kishte asnjë Kështjellë Mbretërore të restauruar pranë saj. Ndoshta lexuesit e rinj e dinë se çfarë janë një duzinë. Janë 12 kopje, por vetëm lexuesit më të vjetër kujtojnë se një duzinë, dmth. 122=144, ky është i ashtuquajturi lot. Dhe kushdo që e njeh matematikën pak më shumë se programi shkollor, do ta kuptojë menjëherë këtë fik. 10 ne kemi numra Fibonacci dhe që gjerësia e brezit të rrjetit është afër "numrit të artë"

Në sekuencën Fibonacci, 144 është i vetmi numër që është një katror i përsosur. Njëqind e dyzet e katër është gjithashtu një "numër i gëzueshëm". Kështu është një matematikan amator indian Dattatreya Ramachandra Caprecar në vitin 1955, ai emëroi numra që janë të pjesëtueshëm me shumën e shifrave të tyre përbërëse:

Sikur ta dinte Adam Mickiewicz, ai me siguri do të kishte shkruar jo në Dzyady: “Nga një nënë e çuditshme; gjaku i tij janë heronjtë e tij të vjetër / Dhe emri i tij është dyzet e katër, vetëm më elegant: Dhe emri i tij është njëqind e dyzet e katër.

Merrni seriozisht argëtimin

Shpresoj t'i kem bindur lexuesit se enigmat Sudoku janë ana argëtuese e pyetjeve që sigurisht meritojnë të merren seriozisht. Unë nuk mund ta zhvilloj këtë temë më tej. Oh, llogaritja e plotë e gjerësisë së brezit të rrjetit nga diagrami i dhënë më poshtë fik. 9 Shkrimi i një sistemi ekuacionesh do të kërkonte dy ose më shumë orë - ndoshta edhe dhjetëra sekonda (!) punë kompjuterike.