Artikull për asgjë

Në fëmijëri më ka magjepsur historia, ndoshta e njohur për shumë lexues, për “supë mbi gozhdë”. Gjyshja ime (shekulli XNUMX i lindjes) më tha këtë në versionin "Kozaku erdhi dhe kërkoi ujë, sepse ai ka një gozhdë dhe do të gatuajë supë mbi të". Zonja kureshtare i dha një tenxhere me ujë… dhe ne e dimë se çfarë ndodhi më pas: “supa duhet të jetë e kripur, daite, gjyshe, kripë”, pastaj ai lau mishin “për të përmirësuar shijen” e kështu me radhë. Në fund e hodhi gozhdën e “zier”.

Pra, ky artikull supozohej të ishte për zbrazëtinë e hapësirës - dhe kjo ka të bëjë me uljen e një aparati evropian në kometën 67P / Churyumov-Gerasimenko më 12 nëntor 2014. Por ndërsa shkruaja, iu nënshtrova një zakoni të kahershëm, Unë jam ende një matematikan. Si është me siс Zero matematika?

Si ekziston Asgjë?

Nuk mund të thuhet se Asgjë nuk ekziston. Ai ekziston të paktën si një koncept filozofik, matematikor, fetar dhe krejtësisht bisedor. Zero është një numër i zakonshëm, zero gradë në një termometër është gjithashtu një temperaturë, dhe një bilanc zero në një bankë është një dukuri e pakëndshme, por e zakonshme. Vini re se nuk ka vit zero në kronologji, dhe kjo sepse zero u fut në matematikë vetëm në mesjetën e vonë, më vonë se kronologjia e propozuar nga murgu Dionisi (shekulli XNUMX).

Mjaft e çuditshme, ne vërtet mund të bënim pa këtë zero dhe, për rrjedhojë, pa numra negativë. Në një nga tekstet e logjikës, gjeta një ushtrim: vizatoni ose thoni si e imagjinoni mungesën e peshkut. E mahnitshme, apo jo? Dikush mund të vizatojë një peshk, por jo një?

Tani shkurtimisht kursi bazë i matematikës. Dhënia e privilegjit të ekzistencës për grupin bosh të shënuar me një rreth të kryqëzuar ∅ është një procedurë e nevojshme analoge me shtimin e zeros në grupin e numrave. Kompleti bosh është i vetmi grup që nuk përmban asnjë element. Koleksione të tilla:

Por nuk ka dy grupe të ndryshme boshe. Seti bosh përfshihet në çdo grup tjetër:

Në të vërtetë, rregullat e logjikës matematikore thonë se grupi A gjendet në grupin B nëse dhe vetëm nëse fjalia:

ajo përfshin

Në rastin e grupit bosh ∅, propozimi është gjithmonë i rremë, dhe kështu, sipas ligjeve të logjikës, nënkuptimi është përgjithësisht i vërtetë. Gjithçka buron nga një gënjeshtër ("këtu do të rrit një kaktus nëse kaloni në klasën tjetër ..."). Pra, duke qenë se grupi i zbrazët përmbahet në secilën prej të tjerëve, atëherë nëse do të ishin dy të ndryshëm, secila prej tyre do të përmbahej në tjetrën. Megjithatë, nëse dy grupe përmbahen brenda njëra-tjetrës, ato janë të barabarta. Kjo është arsyeja pse: ka vetëm një grup bosh!

Postulati i ekzistencës së një grupi bosh nuk bie ndesh me asnjë ligj të matematikës, kështu që pse të mos e vini në jetë? Parimi filozofik i quajturbrisk i Okamit» Një urdhër për të përjashtuar konceptet e panevojshme, por të drejtë koncepti i një grupi bosh është shumë i dobishëm në matematikë. Ju lutemi vini re se grupi i zbrazët ka një dimension -1 (minus një) - elementet zero-dimensionale janë pika dhe sistemet e tyre të rralla, elementet njëdimensionale janë vija, dhe ne folëm për elemente matematikore shumë komplekse me një dimension fraktal në kapitull. në fraktale.

Është interesante që e gjithë ndërtesa e matematikës: numrat, numrat, funksionet, operatorët, integralet, diferencialet, ekuacionet... mund të rrjedhin nga një koncept - një grup bosh! Mjafton të supozohet se ka një grup bosh, elementët e krijuar rishtazi mund të kombinohen në grupe për të qenë në gjendje të ndërtoni të gjithë matematikën. Kështu i ndërtoi numrat natyrorë logjikani gjerman Gottlob Frege. Zero është një klasë grupesh, elementët e të cilave janë në korrespondencë të ndërsjellë me elementët e grupit bosh. Njëra është një klasë grupesh, elementët e të cilave janë në korrespondencë të ndërsjellë me elementët e një grupi, elementi i vetëm i të cilit është grupi bosh. Dy është një klasë grupesh elementet e të cilave janë një-për-një me elementët e grupit të përbërë nga grupi bosh dhe grupi elementi i vetëm i të cilit është grupi bosh... e kështu me radhë. Në pamje të parë, duket se është diçka shumë e ndërlikuar, por në fakt nuk është ashtu.

Blu u përhap mbi mua

kishte erë shqope dhe kishte erë nenexhiku...

Wojciech Mlynarski, Vajza e korrjes

Është e vështirë të imagjinohet

Asgjë nuk është e vështirë të imagjinohet. Në tregimin e Stanisław Lem "Si u shpëtua bota", projektuesi Trurl ndërtoi një makinë që do të bënte gjithçka duke filluar me një letër. Kur Klapaucius urdhëroi të ndërtohej nic, makina filloi të heqë objekte të ndryshme nga bota - me qëllimin përfundimtar për të hequr gjithçka. Në kohën kur Klapaucius i frikësuar ndaloi makinën, galeritë, devrat, varja, hakerat, rimat, rrahësit, poufet, bluarjet, hellet, filidronët dhe ngricat ishin zhdukur përgjithmonë nga bota. Dhe me të vërtetë, ata u zhdukën përgjithmonë ...

Jozef Tischner shkroi shumë mirë për hiçin në Historinë e Filozofisë së Maleve. Gjatë pushimeve të mia të fundit, vendosa të përjetoj këtë hiç, domethënë, shkova në torfën midis Nowy Targ dhe Jabłonka në Podhale. Madje kjo zonë quhet Pustachia. Ju shkoni, ju shkoni, por rruga nuk zvogëlohet - natyrisht, në shkallën tonë modeste, polake. Një ditë mora një autobus në provincën kanadeze të Saskatchewan. Jashtë ishte një fushë misri. Kam marrë një sy gjumë për gjysmë ore. Kur u zgjova, ne po udhëtonim nëpër të njëjtën fushë me misër... Por prisni, a është kjo bosh? Në njëfarë kuptimi, mungesa e ndryshimit është thjesht zbrazëti.

Jemi mësuar me praninë e vazhdueshme të objekteve të ndryshme rreth nesh, dhe nga Diçka nuk mund të ikësh as me sy mbyllur. "Unë mendoj, prandaj jam," tha Descartes. Nëse unë kam menduar tashmë diçka, atëherë unë ekzistoj, që do të thotë se ka të paktën diçka në botë (domethënë, unë). A ekziston ajo që mendoja? Kjo mund të diskutohet, por në mekanikën kuantike moderne, parimi i Heisenberg është i njohur: çdo vëzhgim shqetëson gjendjen e objektit të vëzhguar. Derisa ta shohim nic nuk ekziston dhe kur fillojmë të shikojmë, objekti pushon së qeni si dhe bëhet Diçka. Po bëhet absurde parim antropik: Nuk ka kuptim të pyesim se si do të ishte bota nëse nuk do të ekzistonim. Bota është ajo që na duket neve. Ndoshta qeniet e tjera do ta shohin Tokën si këndore?

Një pozitron (një elektron i tillë pozitiv) është një vrimë në hapësirë, "nuk ka elektron". Në procesin e asgjësimit, elektroni hidhet në këtë vrimë dhe "asgjë nuk ndodh" - nuk ka asnjë vrimë, asnjë elektron. Do të kapërcej shumë shaka rreth vrimave në djathin zviceran ("sa më shumë të kem, aq më pak atje ..."). Kompozitori i famshëm John Cage i kishte përdorur tashmë idetë e tij në atë masë sa që kompozoi (?) një pjesë muzikore (?) në të cilën orkestra ulet pa lëvizur për 4 minuta 33 sekonda dhe, natyrisht, nuk luan asgjë. "Katër minuta e tridhjetë e tre sekonda janë dyqind e shtatëdhjetë e tre, 273, dhe minus 273 gradë është zero absolute, në të cilën ndalet çdo lëvizje," shpjegoi kompozitori (?).

Filtro në zero, asgjë, nofkë, nofkë, asgjë, zero!

Jerzy në filmin e Andrzej Wajda gjatë viteve,

ditët kalojnë"

Po të gjithëve?

Shumë njerëz (nga fermerët e thjeshtë e deri te filozofët e shquar) pyesnin veten për fenomenin e ekzistencës. Në matematikë, situata është e thjeshtë: ka diçka që është e qëndrueshme.

Ajo u zhduk në fushat margjinale

Në lule misri, barërat e këqija dhe gojët e luanit ...

Epo këto gjëra ndodhin

Sidomos në korrje, dhe gjatë korrjes

sidomos…

Wojciech Mlynarski, Vajza e korrjes

Gjithçka është në ekstremin tjetër të Asgjësë. Në matematikë, ne e dimë këtë Gjithçka nuk ekziston. Thjesht një nocion shumë i pasaktë se ekzistenca e tij do të ishte e lirë nga polemika. Kjo mund të kuptohet me shembullin e paradoksit të vjetër: "Nëse Zoti është i gjithëfuqishëm, atëherë krijoni një gur për të marrë?" Prova matematikore se nuk mund të ketë bashkësi të të gjitha bashkësive bazohet në teoremën këngëtar-Bershtein, që thotë se "një numër i pafund" (matematikor: numër kardinal) bashkësia e të gjithë anëtarëve të një bashkësie të caktuar është më e madhe se numri i elementeve të kësaj bashkësie.

Nëse një grup ka elementë, atëherë ai ka 2ⁿ nënbashkësi; për shembull, kur = 3 dhe grupi përbëhet nga {1, 2, 3}, atëherë ekzistojnë nëngrupet e mëposhtme:

• tre grupe me dy elementë: secilit prej tyre i mungon një nga numrat 1, 2, 3,
• një grup bosh,
• tre grupe me një element,
• i gjithë grupi {1,2,3}

- vetëm tetë, 2³Dhe lexuesit që kanë mbaruar së fundmi shkollën, do të doja të kujtoja formulën përkatëse:

Secili prej simboleve të Njutonit në këtë formulë përcakton numrin e grupeve të elementeve k në bashkësinë e elementeve -.

Në matematikë, koeficientët binomialë shfaqen në shumë vende të tjera, si në formulat interesante për shumëzimin e reduktuar:

dhe nga forma e tyre e saktë, ndërvarësia e tyre është shumë më interesante.

Është e vështirë të kuptohet se çfarë është - për sa i përket logjikës dhe matematikës - dhe çfarë nuk është gjithçka. Argumente për mosekzistencë Ashtu si ai i Winnie the Pooh, i cili me mirësjellje e pyeti mysafirin e tij, Tigerin, a u pëlqen tigrave mjalti, lisat dhe gjembakët? "Tigrave u pëlqen gjithçka," u përgjigj ai nga i cili Kubus arriti në përfundimin se nëse u pëlqen gjithçka, atëherë u pëlqen të flenë në dysheme, prandaj, ai, Vinnie, mund të kthehet në shtrat.

Një argument tjetër Paradoksi i Russell. Ka një berber në qytet që rruan të gjithë burrat që nuk rruhen vetë. A rruhet ai vetë? Të dyja përgjigjet bien ndesh me kushtin e parashtruar që të vrasin ata, dhe vetëm ata që nuk e bëjnë vetë.

Duke kërkuar për një koleksion të të gjitha koleksioneve

Si përfundim, unë do të jap një provë të zgjuar, por më matematikore se nuk ka asnjë grup të të gjitha grupeve (për të mos u ngatërruar me të).

Së pari, ne do të tregojmë se për çdo grup X jo bosh, është e pamundur të gjesh një funksion reciprokisht unik që e krahason këtë grup në grupin e nëngrupeve të tij P(X). Pra, le të supozojmë se ky funksion ekziston. Le ta shënojmë me f tradicionale. Çfarë është f nga x? Ky është një koleksion. A i përket xf x-së? Kjo është e panjohur. Ose duhet ose jo. Por për disa x duhet të jetë ende i tillë që të mos i përket f-së së x-së. Epo, atëherë merrni parasysh bashkësinë e të gjitha x për të cilat x nuk i përket f(x). Shënojeni atë (këtë bashkësi) me A. I përgjigjet disa elementeve a të bashkësisë X. A i përket A-së? Le të supozojmë se duhet. Por A është një grup që përmban vetëm ato elemente të x që nuk i përkasin f(x) ... Epo, ndoshta nuk i përket A-së? Por bashkësia A përmban të gjithë elementët e kësaj vetie, dhe si rrjedhim edhe A. Fundi i vërtetimit.

Prandaj, nëse do të kishte një grup të të gjitha grupeve, ai vetë do të ishte një nëngrup i vetvetes, gjë që është e pamundur sipas arsyetimit të mëparshëm.

Phew, nuk mendoj se shumë lexues e kanë parë këtë provë. Përkundrazi, e solla për të treguar se çfarë duhej të bënin matematikanët në fund të shekullit të nëntëmbëdhjetë, kur ata filluan të studionin themelet e shkencës së tyre. Doli se problemet qëndrojnë aty ku askush nuk i priste. Për më tepër, për të gjithë matematikën, këto arsyetime për bazat nuk kanë rëndësi: pa marrë parasysh se çfarë ndodh në bodrume - e gjithë ndërtesa e matematikës qëndron mbi një shkëmb të fortë.

Ndërkohë në krye...

Vëmë re një moral tjetër nga tregimet e Stanislav Lem. Në një nga udhëtimet e tij, Iyon Tichi arriti në një planet, banorët e të cilit, pas një evolucioni të gjatë, arritën më në fund fazën më të lartë të zhvillimit. Ata janë të gjithë të fortë, ata mund të bëjnë gjithçka, ata kanë gjithçka në majë të gishtave… dhe nuk bëjnë asgjë. Ata shtrihen në rërë dhe e derdhin midis gishtërinjve. "Nëse gjithçka është e mundur, nuk ia vlen," i shpjegojnë ata Ijonit të tronditur. Le të mos ndodhë kjo me qytetërimin tonë evropian...