Shifra dhe spiunë

Në këndin e sotëm të matematikës, do t'i hedh një sy një teme që diskutova në kampin vjetor shkencor të Fondacionit Kombëtar të Fëmijëve për fëmijë. Fondacioni kërkon fëmijë dhe të rinj me interesa shkencore. Ju nuk duhet të jeni jashtëzakonisht të talentuar, por duhet të keni një "varg shkencor". Notat shumë të mira shkollore nuk kërkohen. Provojeni, mund t'ju pëlqejë. Nëse jeni nxënës i shkollës fillore ose të mesme, aplikoni. Zakonisht raportimet bëjnë prindërit ose shkolla, por jo gjithmonë kështu. Gjeni faqen e internetit të Fondacionit dhe zbuloni.

Gjithnjë e më shumë flitet në shkollë për “kodimin”, duke iu referuar aktivitetit të njohur më parë si “programim”. Kjo është një procedurë e zakonshme për pedagogët teorikë. Ata gërmojnë metodat e vjetra, u japin një emër të ri dhe "progresi" kujdeset për veten e tij. Ka disa zona ku ndodh një fenomen i tillë ciklik.

Mund të konkludohet se unë e zhvlerësoj didaktikën. Nr. Në zhvillimin e qytetërimit, ne nganjëherë kthehemi në atë që ishte, ishte braktisur dhe tani po ringjallet. Por këndi ynë është matematikor, jo filozofik.

Përkatësia në një komunitet të caktuar do të thotë gjithashtu "simbole të përbashkëta", lexime të zakonshme, thënie dhe shëmbëlltyra. Ai që mësoi në mënyrë të përsosur gjuhën polake "ka një gëmusha të madhe në Szczebrzeszyn, një brumbull po gumëzhin në kallamishte" do të ekspozohet menjëherë si spiun i një shteti të huaj nëse nuk i përgjigjet pyetjes se çfarë po bën qukapiku. Sigurisht që po mbytet!

Kjo nuk është vetëm një shaka. Në dhjetor 1944, gjermanët filluan ofensivën e tyre të fundit në Ardennes me shpenzime të mëdha. Ata mobilizuan ushtarë që flisnin rrjedhshëm anglisht për të penguar lëvizjen e trupave aleate, për shembull duke i udhëhequr në drejtimin e gabuar në udhëkryq. Pas një momenti befasie, amerikanët filluan t'u bënin ushtarëve pyetje të dyshimta, përgjigjet e të cilave do të ishin të qarta për një person nga Teksasi, Nebraska apo Xhorxhia dhe të pakonceptueshme për dikë që nuk ishte rritur atje. Injoranca e realiteteve çoi drejtpërdrejt në ekzekutim.

Drejt e në temë. Unë rekomandoj për lexuesit librin e Lukasz Badowski dhe Zaslaw Adamashek "Laboratori në një sirtar tavoline - Matematikë". Ky është një libër i mrekullueshëm që tregon shkëlqyeshëm se matematika është vërtet e dobishme për diçka dhe se "eksperimenti matematikor" nuk është fjalë boshe. Ai përfshin, ndër të tjera, ndërtimin e përshkruar të "enigmës së kartonit" - një pajisje që do të na marrë vetëm pesëmbëdhjetë minuta për ta krijuar dhe që funksionon si një makinë serioze shifrore. Vetë ideja ishte shumë e njohur, autorët e përmendur e përpunuan bukur, dhe unë do ta ndryshoj pak dhe do ta mbështjell me rroba më matematikore.

sharrë hekuri

Në një nga rrugët e fshatit tim dacha në periferi të Varshavës, trotuari u çmontua kohët e fundit nga "trlinka" - pllakat e shtrimit gjashtëkëndor. Udhëtimi ishte i pakëndshëm, por shpirti i matematikanit u gëzua. Mbulimi i rrafshit me shumëkëndësha të rregullt (d.m.th. të rregullt) nuk është i lehtë. Mund të jenë vetëm trekëndësha, katrorë dhe gjashtëkëndësha të rregullt.

Ndoshta kam bërë pak shaka me këtë gëzim shpirtëror, por gjashtëkëndëshi është një figurë e bukur. Prej tij mund të bëni një pajisje mjaft të suksesshme enkriptimi. Gjeometria do të ndihmojë. Gjashtëkëndëshi ka simetri rrotulluese - mbivendoset kur rrotullohet me një shumëfish prej 60 gradësh. Fusha e shënuar, për shembull, me shkronjën A në pjesën e sipërme majtas fik. 1 pas kthimit nga ky kënd, do të bjerë edhe në kutinë A - dhe e njëjta gjë me shkronjat e tjera. Pra, le të presim gjashtë katrorë nga rrjeti, secili me një shkronjë të ndryshme. Rrjetën e përftuar në këtë mënyrë e vendosim në një fletë letre. Në gjashtë fushat e lira, futni gjashtë shkronja të tekstit që duam të kodojmë. Le ta rrotullojmë fletën 60 gradë. Do të shfaqen gjashtë fusha të reja - shkruani gjashtë shkronjat e ardhshme të mesazhit tonë.

Oriz. 1. Trlinks e gëzimit të matematikës.

Në të djathtë fik. 1 ne kemi një tekst të koduar në këtë mënyrë: "Ka një lokomotivë të madhe me avull të rëndë në stacion".

Tani një matematikë e vogël shkollore do të jetë e dobishme. Në sa mënyra mund të renditen dy numra në lidhje me njëri-tjetrin?

Çfarë pyetje marrëzie? Për dy: ose njëri përpara ose tjetri.

Mirë. Dhe tre numra?

Gjithashtu nuk është e vështirë të renditësh të gjitha cilësimet:

123, 132, 213, 231, 312, 321.

Epo, është për katër! Ende mund të shkruhet qartë. Merre me mend rregullin e rendit që vendosa:

1234, 1243, 1423, 4123, 1324, 1342,

1432, 4132, 2134, 2143, 2413, 4213,

2314, 2341, 2431, 4231, 3124, 3142,

3412, 4312, 3214, 3241, 3421, 4321

Kur shifrat janë pesë, marrim 120 cilësime të mundshme. Le t'i thërrasim ndërrimet. Numri i permutacioneve të mundshme të n numrave është prodhimi 1 2 3 ... n, i quajtur i fortë dhe shënohet me pikëçuditëse: 3!=6, 4!=24, 5!=120. Për numrin tjetër 6 kemi 6!=720. Ne do ta përdorim këtë për ta bërë mburojën tonë gjashtëkëndore të shifrimit më kompleks.

Zgjedhim një ndërrim të numrave nga 0 në 5, për shembull 351042. Disku ynë i fërkimit gjashtëkëndor ka një vizë në fushën e mesme - në mënyrë që të vendoset "në pozicionin zero" - një vizë lart, si në fig. 1. E vendosim diskun në këtë mënyrë në një fletë letre në të cilën duhet të shkruajmë raportin tonë, por nuk e shkruajmë menjëherë, por e kthejmë tre herë me 60 gradë (d.m.th. 180 gradë) dhe futim gjashtë shkronja. fushat boshe. Ne kthehemi në pozicionin e fillimit. Ne e kthejmë numrin pesë herë me 60 gradë, domethënë me pesë "dhëmbë" të numrit tonë. Ne shtypim. Pozicioni tjetër i shkallës është pozicioni i rrotulluar 60 gradë rreth zeros. Pozicioni i katërt është 0 gradë, ky është pozicioni fillestar.

E kuptoni se çfarë ndodhi? Ne kemi një mundësi shtesë - të komplikojmë "makinën" tonë me më shumë se shtatëqind herë! Pra, kemi dy pozicione të pavarura të "automatit" - zgjedhjen e rrjetit dhe zgjedhjen e ndërrimit. Rrjeti mund të zgjidhet në 66 = 46656 mënyra, ndërrimi 720. Kjo jep 33592320 mundësi. Mbi 33 milionë shifra! Pothuajse pak më pak, sepse disa rrjeta nuk mund të priten nga letra.

Në pjesën e poshtme fik. 1 ne kemi një mesazh të koduar kështu: "Po ju dërgoj katër divizione parashutash". Është e lehtë të kuptohet se armiku nuk duhet të jetë i vetëdijshëm për këtë. Por a do të kuptojë ai ndonjë nga këto:

ТПОРОПВМАНВЕОРДИЗЗ

YYLOAKVMDEYCHESH,

edhe me firmen 351042?

Ne po ndërtojmë Enigma, një makinë shifrore gjermane

Oriz. 2. Një shembull i konfigurimit fillestar të makinës sonë të enkriptimit.

Permutacionet (AF) (BJ) (CL) (DW) (EI) (GT) (HO) (KS) (MX) (NU) (PZ) (RY).

Siç e përmenda tashmë, idenë e krijimit të një makinerie të tillë kartoni ia detyroj librit "Lab në një sirtar - Matematikë". “Ndërtimi” im është disi i ndryshëm nga ai i dhënë nga autorët e tij.

Makina shifrore e përdorur nga gjermanët gjatë luftës kishte një parim të thjeshtë gjenialisht, disi të ngjashëm me atë që pamë me shifrën heks. Çdo herë e njëjta gjë: thyej caktimin e vështirë të një letre në një shkronjë tjetër. Duhet të jetë i zëvendësueshëm. Si ta bëni atë në mënyrë që të keni kontroll mbi të?

Le të zgjedhim jo ndonjë ndryshim, por një që ka cikle me gjatësi 2. E thënë thjesht, diçka si "Gaderipoluk" e përshkruar këtu disa muaj më parë, por që mbulon të gjitha shkronjat e alfabetit. Le të biem dakord për 24 shkronja - pa ą, ę, ć, ó, ń, ś, ó, ż, ź, v, q. Sa permutacione të tilla? Kjo është një detyrë për maturantët (ata duhet ta zgjidhin menjëherë). Sa shume? Shumë? Disa mijëra? Po:

1912098225024001185793365052108800000000 (le të mos përpiqemi as ta lexojmë këtë numër). Ka kaq shumë mundësi për të vendosur pozicionin "zero". Dhe mund të jetë e vështirë.

Makina jonë përbëhet nga dy disqe të rrumbullakëta. Në njërën prej tyre, e cila është ende në këmbë, janë shkruar letra. Është paksa si thirrja e një telefoni të vjetër, ku keni thirrur një numër duke e kthyer numrin deri në fund. Rotary është i dyti me një skemë ngjyrash. Mënyra më e lehtë është t'i vendosni në një tapë të rregullt duke përdorur një kunj. Në vend të tapës, mund të përdorni një dërrasë të hollë ose karton të trashë. Lukasz Badowski dhe Zasław Adamaszek rekomandojnë vendosjen e të dy disqeve në një kuti CD.

Imagjinoni që duam të kodojmë fjalën ARMATY (Oriz. 2 dhe 3). Vendoseni pajisjen në pozicionin zero (shigjeta lart). Shkronja A i përgjigjet F. Rrotulloni qarkun e brendshëm një shkronjë djathtas. Ne kemi shkronjën R për të koduar, tani ajo korrespondon me A. Pas rrotullimit të radhës, shohim se shkronja M i përgjigjet U. Rrotullimi tjetër (diagrami i katërt) jep korrespondencën A - P. Në numrin e pestë kemi T - A. Së fundi (rrethi i gjashtë ) Y – Y Armiku ndoshta nuk do ta marrë me mend se CFCFA-të tona do të jenë të rrezikshme për të. Dhe si do ta lexojnë "tonët" dërgesën? Ata duhet të kenë të njëjtën makinë, të njëjtën "të programuar", domethënë me të njëjtin ndërrim. Shifra fillon në pozicionin zero. Pra, vlera e F është A. Kthejeni çelësin në drejtim të akrepave të orës. Shkronja A tani lidhet me R. Ai kthen numrin djathtas dhe nën shkronjën U gjen M, etj. Nëpunësi i shifrës vrapon te gjenerali: "Gjeneral, po raportoj, armët po vijnë!"

Oriz. 3. Parimi i funksionimit të punimit tonë Enigma.

Oriz. 3. Parimi i funksionimit të punimit tonë Enigma.

Mundësitë edhe të një Enigme kaq primitive janë të mahnitshme. Ne mund të zgjedhim permutacione të tjera të prodhimit. Ne mundemi - dhe ka edhe më shumë mundësi këtu - jo me një "serif" rregullisht, por në një rend të caktuar, në ndryshim të përditshëm, të ngjashëm me një gjashtëkëndësh (për shembull, së pari tre shkronja, pastaj shtatë, pastaj tetë, katër ... .. etj. .).

Si mund ta merrni me mend?! E megjithatë për matematikanët polakë (Marian Reevski, Henri Zigalski, Ezhi Ruzicki) ndodhi. Informacioni i marrë në këtë mënyrë ishte i paçmuar. Më parë, ata patën një kontribut po aq të rëndësishëm në historinë e mbrojtjes sonë. Vaclav Serpinski i Stanislav Mazurkevichi cili shkeli kodin e trupave ruse në 1920. Kablloja e përgjuar i dha Piłsudskit mundësinë për të bërë manovrën e famshme nga lumi Vepsz.

Më kujtohet Vaslav Sierpinski (1882-1969). Ai dukej si një matematikan për të cilin bota e jashtme nuk ekzistonte. Ai nuk mund të fliste për pjesëmarrjen e tij në fitoren e 1920 si për arsye ushtarake ashtu edhe ... për arsye politike (autoritetet e Republikës Popullore Polake nuk i pëlqyen ata që na mbronin nga Bashkimi Sovjetik).

Fik. 4. Permutacioni (AP) (BF) (CM) (DS) (EW) (GY) (HK) (IU) (JX) (LZ) (NR) (OT).

Oriz. 5. Dekoratë e bukur, por jo e përshtatshme për enkriptim. Shumë rregullisht.

Punë 1. Na fik. 4 ju keni një ndryshim tjetër për të krijuar Enigma. Kopjojeni vizatimin në kserografi. Ndërtoni një makinë, kodoni emrin dhe mbiemrin tuaj. CWONUE JTRYGT ime. Nëse keni nevojë t'i mbani shënimet tuaja private, përdorni Cardboard Enigma.

Punë 2. Enkriptoni emrin dhe mbiemrin tuaj të njërës prej "makinave" që keni parë, por (vëmendje!) me një ndërlikim shtesë: ne nuk kthehemi një nivel në të djathtë, por sipas skemës {1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1, ....} - domethënë, së pari nga një, pastaj nga dy, pastaj nga tre, pastaj nga 2, pastaj përsëri nga 1, pastaj nga 2, etj., Një "valë" e tillë . Sigurohuni që emri dhe mbiemri im të jenë të koduar si CZTTAK SDBITH. Tani e kuptoni se sa e fuqishme ishte makina Enigma?

Zgjidhja e problemeve për maturantët. Sa opsione konfigurimi për Enigma (në këtë version, siç përshkruhet në artikull)? Kemi 24 letra. Ne zgjedhim çiftin e parë të shkronjave - kjo mund të bëhet më

mënyrat. Çifti tjetër mund të zgjidhet në

mënyra, më shumë

etj. Pas llogaritjeve përkatëse (të gjithë numrat duhet të shumëzohen), marrim

151476660579404160000

Pastaj pjesëtojeni atë numër me 12! (12 faktorial), sepse të njëjtat çifte mund të merren në një renditje të ndryshme. Kështu që në fund marrim "totalin"

316234143225,

kjo është pak më shumë se 300 miliardë, që nuk duket si një numër jashtëzakonisht i madh për superkompjuterët e sotëm. Megjithatë, nëse merret parasysh rendi i rastësishëm i vetë permutacioneve, ky numër rritet ndjeshëm. Mund të mendojmë edhe për lloje të tjera ndërrimesh.

Shih gjithashtu: