Pse nuk pjesëtojmë me zero?

Lexuesit mund të pyesin veten pse i kushtoj një artikull të tërë një çështjeje kaq banale? Arsyeja është numri marramendës i studentëve (!) që kryejnë rastësisht operacionin me emër. Dhe jo vetëm studentët. Ndonjëherë unë kap dhe mësuesit. Çfarë do të jenë në gjendje të bëjnë nxënësit e mësuesve të tillë në matematikë? Arsyeja e menjëhershme për të shkruar këtë tekst ishte një bisedë me një mësues për të cilin ndarja me zero nuk ishte problem ...

Me zero, po, me përjashtim të mundimit të asgjëje, sepse nuk kemi nevojë ta përdorim në jetën e përditshme. Ne nuk bëjmë pazar për zero vezë. "Ka një person në dhomë" tingëllon disi e natyrshme dhe "zero njerëz" tingëllon artificial. Gjuhëtarët thonë se zero është jashtë sistemit gjuhësor.

Mund të bëjmë edhe pa zeron në llogaritë bankare: thjesht përdorni - si në termometër - të kuqe dhe blu për vlera pozitive dhe negative (vini re se për temperaturën është e natyrshme të përdorni të kuqe për numra pozitivë, dhe për llogaritë bankare atë është anasjelltas, sepse debiti duhet të shkaktojë një paralajmërim, kështu që e kuqja rekomandohet shumë).

Duke përfshirë zeron si numër natyror, prekim problemin e diferencimit numrat kardinale od amvisëri. Brenda 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..

fuqia e numrit është e njëjtë me numrin e vendit ku qëndron. Përndryshe, tashmë është në sekuencën 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..

Numri i grupeve teke vjen i dyti, numri i grupeve me dy elemente vjen i treti, e kështu me radhë. Duhet të shpjegojmë pse, për shembull, nuk i numërojmë vendet e sportistëve në gara nga e para. Pastaj fituesi i vendit të parë do të merrte një medalje argjendi (arti shkoi për fituesin e vendit zero) dhe kështu me radhë. Një procedurë disi e ngjashme u përdor në futboll - nuk e di nëse lexuesit e dinë se "liga e parë" do të thotë " duke ndjekur më të mirët”. ", dhe liga zero është thirrur të bëhet "liga kryesore".

Ndonjëherë dëgjojmë argumentin se duhet të fillojmë nga e para, sepse është i përshtatshëm për njerëzit e IT-së. Duke vazhduar këto konsiderata, përkufizimi i një kilometri duhet të ndryshohet - duhet të jetë 1024 m, sepse ky është numri i bajteve në një kilobajt (do t'i referohem një shakaje të njohur për shkencëtarët kompjuterikë: "Cili është ndryshimi midis një studenti të parë dhe student i shkencave kompjuterike dhe student i vitit të pestë të këtij fakulteti? se një kilobajt është 1000 kilobajt, i fundit - se një kilometër është 1024 metra")!

Një këndvështrim tjetër, i cili tashmë duhet marrë seriozisht, është ky: ne masim gjithmonë nga e para! Mjafton të shikosh çdo peshore në vizore, në peshore shtëpiake, madje edhe në orë. Meqenëse matim nga zero, dhe numërimi mund të kuptohet si matje me një njësi pa dimension, atëherë duhet të numërojmë nga zero.

Është një çështje e thjeshtë, por...

Le të lëmë arsyetimin e përgjithshëm dhe të kthehemi te pjesëtimi me zero. Çështja është e thjeshtë dhe do të ishte e thjeshtë nëse nuk do të ishte ... pra çfarë? Le të mendojmë dhe të provojmë. Sa mund të jetë - një pjesëtuar me zero? Le të shohim: 1/0 = x. Shumëzoni të dyja anët me emëruesin e anës së majtë.

Marrim 1=0. Diçka është gabim! Cfare ndodhi? Ah mendo! Supozimi se ka një koeficient të unitetit dhe zeros çon në një kontradiktë. Dhe nëse një nuk mund të pjesëtohet me zero, atëherë një numër tjetër mund. Nëse, Lexues, ti ngre supet dhe pyet veten pse autori (domethënë unë) shkruan për të tilla kokrra, atëherë ... Më vjen shumë mirë!

Formula 0/0 = 0 mund të mbrohet me kokëfortësi, por bie ndesh me rregullin që rezultati i pjesëtimit të një numri në vetvete është i barabartë me një. Absolutisht, por krejt të ndryshme janë simbole të tilla si 0/0, °/° dhe të ngjashme në llogaritje. Ato nuk nënkuptojnë ndonjë numër, por janë emërtime simbolike për sekuenca të veçanta të llojeve të caktuara.

Në një libër të inxhinierisë elektrike, gjeta një krahasim interesant: pjesëtimi me zero është po aq i rrezikshëm sa energjia elektrike e tensionit të lartë. Kjo është normale: ligji i Ohmit thotë se raporti i tensionit ndaj rezistencës është i barabartë me rrymën: V = U / R. Nëse rezistenca do të ishte zero, një rrymë teorikisht e pafund do të kalonte nëpër përcjellës, duke djegur të gjithë përcjellësit e mundshëm.

Një herë shkrova një poezi për rreziqet e pjesëtimit me zero për çdo ditë të javës. Mbaj mend që dita më dramatike ishte e enjtja, por më vjen keq për gjithë punën time në këtë fushë.

Kur pjesëtoni diçka me zero

Shumë herët të hënën

Javë ajo që sapo ndodhi

Ju tashmë keni dështuar keq.

Kur të martën pasdite

Ju vendosni zero në emërues

Unë do t'ju them atëherë, e keni gabim

Matematikan i keq!

Kur përmes zeros, përmes çoroditjes,

Dëshironi të ndaheni të mërkurën

Do të futeni në shumë telashe

Ju keni sanë dhe ujë në kokën tuaj!

Njëfarë Bartek ishte me ne.

Ai ishte në kundërshtim me rregullat.

Të enjten, ajo pjesëtohet me zero.

Ai nuk është më mes nesh!

Nëse një dëshirë e çuditshme ju pushton

Të premten pjesëtojeni me zero

Do të jem i sinqertë, do të jem i sinqertë:

Fillimi i keq i kësaj fundjave.

Kur është zero, diku të shtunën

Ndarësi do të jetë i juaji (jo i theksuar)

Gjunjëzohuni nën gardhin e kishës.

Kjo është ringjallja juaj.

A doni zero nën dash,

Bëni një festë të dielën

Sillni shkumës, dërrasë të zezë.

Shkruaj: nuk pjesëtohet me zero!

Zero shoqërohet me zbrazëti dhe asgjë. Në të vërtetë, ai erdhi në matematikë si një sasi që, kur i shtohet ndonjërës, nuk e ndryshon atë: x + 0 = x. Por tani zero shfaqet në disa vlera të tjera, veçanërisht si fillimi i shkallës. Nëse jashtë dritares nuk ka as temperaturë pozitive dhe as acar, atëherë ... kjo është zero, që nuk do të thotë se nuk ka fare temperaturë. Një monument i klasit zero nuk është ai që është prishur prej kohësh dhe thjesht nuk ekziston. Përkundrazi, është diçka si Wawel, Kulla Eifel dhe Statuja e Lirisë.

Epo, rëndësia e zeros në një sistem pozicional vështirë se mund të mbivlerësohet. A e dini, lexues, sa zero ka Bill Gates në llogarinë e tij bankare? Nuk e di, por do të doja gjysmën. Me sa duket, Napoleon Bonaparti vuri re se njerëzit janë si zero: ata marrin kuptim përmes pozicionit. Në filmin e Andrzej Wajda-s As the Years, as the Days Go by, artisti i pasionuar Jerzy shpërthen: “Filistini është zero, nihil, asgjë, asgjë, nihil, zero”. Por zeroja mund të jetë e mirë: "devijim zero nga norma" do të thotë që gjithçka po shkon mirë dhe vazhdo kështu!

Le të kthehemi te matematika. Zero mund të shtohet, zbritet dhe shumëzohet pa u ndëshkuar. "Unë fitova zero kilogramë," i thotë Manya Anya. "Dhe kjo është interesante, sepse humba të njëjtën peshë," përgjigjet Anya. Pra, le të hamë gjashtë zero racione akullore gjashtë herë, nuk do të na dëmtojë.

Ne nuk mund të pjesëtojmë me zero, por mund të pjesëtojmë me zero. Një pjatë me petë zero mund t'u shpërndahet lehtësisht atyre që janë duke pritur për ushqim. Sa do të marrë secili?

Zero nuk është pozitive apo negative. Ky dhe numri jo pozitiveи jo negative. Ai plotëson pabarazitë x≥0 dhe x≤0. Kontradikta "diçka pozitive" nuk është "diçka negative", por "diçka negative ose e barabartë me zero". Matematikanët, në kundërshtim me rregullat e gjuhës, gjithmonë do të thonë se diçka është "e barabartë me zero" dhe jo "zero". Për të justifikuar këtë praktikë, kemi: nëse lexojmë formulën x = 0 "x është e barabartë me zero" atëherë x = 1 lexojmë "x është e barabartë me një", e cila mund të gëlltitet, por çfarë ndodh me "x = 1534267" ? Ju gjithashtu nuk mund t'i caktoni një vlerë numerike karakterit 0⁰as të ngrihet zero në një fuqi negative. Nga ana tjetër, ju mund të rrënjosni zero sipas dëshirës ... dhe rezultati do të jetë gjithmonë zero. 

Funksioni eksponencial y = a^x, baza pozitive e a, nuk bëhet kurrë zero. Nga kjo rrjedh se nuk ka logaritëm zero. Në të vërtetë, logaritmi i a në bazën b është eksponenti në të cilin baza duhet të ngrihet për të marrë logaritmin e a. Për a = 0, nuk ka një tregues të tillë dhe zero nuk mund të jetë baza e logaritmit. Megjithatë, zeroja në "emëruesin" e simbolit të Njutonit është diçka tjetër. Ne supozojmë se këto konventa nuk çojnë në një kontradiktë.

dëshmi të rreme

Pjesëtimi me zero është një temë e zakonshme për provat e rreme, dhe kjo u ndodh edhe matematikanëve me përvojë. Më lejoni t'ju jap dy nga shembujt e mi të preferuar. E para është algjebrike. Unë do të "dëshmoj" se të gjithë numrat janë të barabartë. Supozoni se ka dy numra që nuk janë të barabartë. Prandaj, njëri prej tyre është më i madh se tjetri, le të a > b. Le të supozojmë se c është ndryshimi i tyre

c \uXNUMXd a - b. Pra kemi a - b = c, prej nga a = b + c.

Ne i shumëzojmë të dyja pjesët e kësaj të fundit me a - b:

a² – ab = ab + ac – b2 – bc.

Unë e përkthej ak në anën e majtë, sigurisht që mbaj mend ndryshimin e shenjës:

a² - ab - ac = ab - b2 - bc.

Unë përjashtoj faktorët e zakonshëm:

A (a-b-c) \uXNUMXd b (a-b-c),

Unë ndaj dhe kam atë që doja:

a = b.

Dhe në fakt edhe më e çuditshme, sepse supozova se a > b, dhe kuptova se a = b. Nëse në shembullin e mësipërm "mashtrimi" është i lehtë për t'u njohur, atëherë në provën gjeometrike më poshtë nuk është aq e lehtë. Unë do të vërtetoj se ... trapezi nuk ekziston. Figura që zakonisht quhet trapez nuk ekziston.

Por së pari supozoni se ekziston një gjë e tillë si një trapezoid (ABCD në figurën më poshtë). Ka dy anë paralele ("baza"). Le t'i shtrijmë këto baza, siç tregohet në foto, në mënyrë që të marrim një paralelogram. Diagonalet e tij ndajnë diagonalen tjetër të trapezit në segmente, gjatësitë e të cilëve shënohen x, y, z, si në figura 1. Nga ngjashmëria e trekëndëshave përkatës, marrim përmasat:

ku përcaktojmë:

Oraz

ku përcaktojmë:

Zbrisni anët e barazisë të shënuara me yll:

 Duke i shkurtuar të dyja anët me x − z, marrim – a/b = 1, që do të thotë se a + b = 0. Por numrat a, b janë gjatësitë e bazave të trapezit. Nëse shuma e tyre është zero, atëherë ato janë gjithashtu zero. Kjo do të thotë se një figurë si një trapez nuk mund të ekzistojë! Dhe meqenëse drejtkëndëshat, rombët dhe katrorët janë gjithashtu trapezoide, atëherë, i dashur lexues, nuk ka as rombe, drejtkëndësha dhe katrorë ...

Guess Guess

Shkëmbimi i informacionit është më interesant dhe më sfidues nga katër aktivitetet bazë. Këtu, për herë të parë, ndeshemi me një fenomen kaq të zakonshëm në moshën madhore: "Gjeni me mend përgjigjen dhe më pas kontrolloni nëse e keni marrë me mend". Kjo është shprehur shumë me vend nga Daniel K. Dennett (“Si të bësh gabime?”, në Si është – Një udhëzues shkencor për universin, CiS, Varshavë, 1997):

Kjo metodë e "mendimit" nuk ndërhyn në jetën tonë të rritur - ndoshta sepse e mësojmë herët dhe hamendja nuk është e vështirë. Ideologjikisht, i njëjti fenomen ndodh, për shembull, në induksionin matematikor (të plotë). Në të njëjtin vend, ne "mendojmë" formulën dhe më pas kontrollojmë nëse supozimi ynë është i saktë. Nxënësit pyesin gjithmonë: “Si e dinim modelin? Si mund të hiqet?" Kur studentët më bëjnë këtë pyetje, pyetjen e tyre e kthej në shaka: “Këtë e di sepse jam profesionist, sepse paguhem të di”. Nxënësve në shkollë mund t'u përgjigjet në të njëjtin stil, vetëm më seriozisht.

ushtrim. Vini re se mbledhjen dhe shumëzimin me shkrim e fillojmë me njësinë më të ulët dhe pjesëtimin me njësinë më të lartë.

Një kombinim i dy ideve

Mësuesit e matematikës kanë theksuar gjithmonë se ajo që ne e quajmë ndarje të të rriturve është bashkimi i dy ideve konceptualisht të ndryshme: Корпус i ndarja.

E para (Корпус) ndodh në detyrat ku arketipi është:

Ndan-përça Këto janë detyra të tilla si:

? (Ne ruajmë stilin origjinal të këtij problemi, marrë nga doracaku i Julian Zgozalewicz i botuar në Krakov në 1892 - złoty është złoty Rhenish, monedha që ishte në qarkullim në Perandorinë Austro-Hungareze deri në fillim të shekullit XNUMX).

Tani merrni parasysh dy probleme me libri më i vjetër i matematikës në polonisht, babai Tomasz Clos (1538). Është një ndarje apo një coupe? Zgjidheni atë ashtu si duhet që nxënësit e shkollës në shekullin XNUMX:

(Përkthimi nga polonisht në polonisht: Ka një kuart dhe katër tenxhere në një fuçi. Një tenxhere është katër litra. Dikush bleu 20 fuçi verë për 50 zł për tregti. Tatimi dhe taksa (akciza?) do të jenë 8 zł. shes një kuart për të fituar 8 zł?)

Sporti, fizika, kongruenca

Ndonjëherë në sport ju duhet të ndani diçka me zero (raporti i golave). Epo, gjyqtarët disi merren me të. Megjithatë, në algjebër abstrakte ato janë në rendin e ditës. sasi jo zerokatrori i të cilit është zero. Madje mund të shpjegohet thjesht.

Konsideroni një funksion F që lidh një pikë (y, 0) me një pikë në rrafshin (x, y). Çfarë është F², domethënë një ekzekutim i dyfishtë i F? Funksioni zero - çdo pikë ka një imazh (0,0).

Së fundi, sasitë jozero katrori i të cilave është 0 janë pothuajse bukë e përditshme për fizikantët dhe numrat e formës a + bε, ku ε ≠ 0, por ε² = 0, thërrasin matematikanët numra të dyfishtë. Ato ndodhin në analizën matematikore dhe në gjeometrinë diferenciale.

Në fund të fundit, ka diçka në aritmetikë që ka pjesëtim me zero të paktën në emër. Ajo vjen nga kongruence. Le të tregojmë Z bashkësinë e numrave të plotë. Pjestimi i bashkësisë Z me p do të thotë që secilin numër (numër të plotë) e barazojmë me disa të tjerë, përkatësisht me ata me të cilët diferenca e tyre pjesëtohet. Pra, kur kemi pesë lloje numrash që korrespondojnë me numrat 0, 1, 2, 3, 4 - mbetjet e mundshme kur ndahen me 5. Formula shkruhet kështu:

mod kur diferenca është shumëfish.

Për = 2, kemi vetëm dy numra: 0 dhe 1. Ndarja e numrave të plotë në dy klasa të tilla është e barabartë me ndarjen e tyre në çift dhe tek. Le ta zëvendësojmë tani. Dallimi është gjithmonë i pjesëtueshëm me 1 (çdo numër i plotë pjesëtohet me 1). A është e mundur të merret =0? Le të provojmë: kur ndryshimi i dy numrave është shumëfish i zeros? Vetëm kur këta dy numra janë të barabartë. Pra, pjesëtimi i një grupi numrash të plotë me zero ka kuptim, por nuk është interesante: asgjë nuk ndodh. Megjithatë, duhet theksuar se kjo nuk është ndarje e numrave në kuptimin e njohur nga shkolla fillore.

Veprime të tilla janë thjesht të ndaluara, si dhe matematika e gjatë dhe e gjerë.

Oriz. 2. Identifikimi i numrave duke përdorur krahasimin

(modaliteti 5 dhe modaliteti 2)