Udhëtim në botën joreale të matematikës

E shkrova këtë artikull në një nga mjediset, pas një leksioni dhe praktike në një kolegj të shkencave kompjuterike. Mbroj veten ndaj kritikave ndaj nxënësve të kësaj shkolle, njohurive të tyre, qëndrimit ndaj shkencës dhe më e rëndësishmja: aftësive mësimore. Këtë... askush nuk i mëson.

Pse jam kaq i mbrojtur? Për një arsye të thjeshtë - jam në një moshë kur, me siguri, bota përreth nesh nuk është kuptuar ende. Mos ndoshta po i mësoj të kapin dhe heqin kuajt dhe jo të drejtojnë një makinë? Ndoshta i mësoj të shkruajnë me një stilolaps? Edhe pse kam një mendim më të mirë për një person, e konsideroj veten “të ndjek”, por…

Deri vonë, në shkollë të mesme, ata flisnin për numra kompleks. Dhe pikërisht këtë të mërkurë erdha në shtëpi, u largova - pothuajse asnjë nga studentët nuk ka mësuar ende se çfarë është dhe si t'i përdorë këta numra. Disa i shikojnë të gjitha matematikat si një patë në një derë të lyer. Por gjithashtu u befasova sinqerisht kur më thanë se si të mësoja. E thënë thjesht, çdo orë e një leksioni është dy orë detyra shtëpie: leximi i një teksti shkollor, mësimi i zgjidhjes së problemeve në një temë të caktuar, etj. Duke u përgatitur në këtë mënyrë, vijmë te ushtrimet, ku përmirësojmë gjithçka... Kënaqësisht, studentët, me sa duket, menduan se qëndrimi ulur në leksion - më së shpeshti shikimi nga dritarja - garanton tashmë hyrjen e njohurive në kokë.

Ndalo! Mjaft me këtë. Do të përshkruaj përgjigjen time për një pyetje që mora gjatë një klase me kolegë nga Fondi Kombëtar i Fëmijëve, një institucion që mbështet fëmijët e talentuar nga i gjithë vendi. Pyetja (ose më mirë sugjerimi) ishte:

— A mund të na thoni diçka për numrat jorealë?

"Sigurisht," u përgjigja. 

Realiteti i numrave

"Një mik është një tjetër unë, miqësia është raporti i numrave 220 dhe 284," tha Pitagora. Çështja këtu është se shuma e pjesëtuesve të numrit 220 është 284, dhe shuma e pjesëtuesve të numrit 284 është 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Një rastësi tjetër interesante midis numrave 220 dhe 284 është kjo: shtatëmbëdhjetë numrat e thjeshtë më të lartë janë 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, dhe 59.

Shuma e tyre është 2x220, dhe shuma e katrorëve është 59x284.

Së pari. Nuk ka koncept të "numrit real". Është sikur pasi të keni lexuar një artikull për elefantët, të pyesni: "Tani do të kërkojmë joelefantë". Ka të plota dhe jo të plota, racionale dhe irracionale, por nuk ka joreale. Konkretisht: numrat që nuk janë realë nuk quhen të pavlefshëm. Ka shumë lloje të "numrave" në matematikë, dhe ato ndryshojnë nga njëri-tjetri, si - për të marrë një krahasim zoologjik - një elefant dhe një krimb toke.

Së dyti, ne do të kryejmë operacione që ju mund ta dini se tashmë janë të ndaluara: nxjerrja e rrënjëve katrore të numrave negativë. Epo, matematika do t'i kapërcejë barriera të tilla. A ka kuptim megjithatë? Në matematikë, si në çdo shkencë tjetër, nëse një teori hyn përgjithmonë në depon e njohurive varet ... nga zbatimi i saj. Nëse është e padobishme, atëherë përfundon në koshin e plehrave, pastaj në disa mbeturina të historisë së dijes. Pa numrat për të cilët flas në fund të këtij artikulli, është e pamundur të zhvillohet matematika. Por le të fillojmë me disa gjëra të vogla. Çfarë janë numrat realë, ju e dini. Ata e mbushin vijën numerike dendur dhe pa boshllëqe. Ju gjithashtu e dini se çfarë janë numrat natyrorë: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - të gjithë ata nuk do të përshtaten kujtesa edhe më e madhja. Ata gjithashtu kanë një emër të bukur: natyral. Ata kanë kaq shumë veti interesante. Si ju pëlqen kjo:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

"Është e natyrshme të interesohesh për numrat natyrorë," tha Karl Lindenholm dhe Leopold Kronecker (1823–1891) e shprehën shkurt: "Zoti krijoi numrat natyrorë - gjithçka tjetër është vepër e njeriut!" Thyesat (të quajtura numra racionalë nga matematikanët) gjithashtu kanë veti të mahnitshme:

dhe në barazi:

mundeni, duke filluar nga ana e majtë, të fërkoni pluset dhe t'i zëvendësoni me shenja shumëzimi - dhe barazia do të mbetet e vërtetë:

Dhe kështu me radhë.

Siç e dini, për thyesat a/b, ku a dhe b janë numra të plotë, dhe b ≠ 0, ata thonë numri racional. Por vetëm në polonisht ata e quajnë veten kështu. Ata flasin anglisht, frëngjisht, gjermanisht dhe rusisht. numri racional. Në anglisht: numra racionalë. Numrat irracionalë është irracionale, irracionale. Ne gjithashtu flasim polonisht për teori, ide dhe vepra irracionale - kjo është çmenduri, imagjinare, e pashpjegueshme. Thonë se gratë kanë frikë nga minjtë - a nuk është kaq irracionale?

Në kohët e lashta, numrat kishin një shpirt. Secila nënkuptonte diçka, secila simbolizonte diçka, secila pasqyronte një grimcë të asaj harmonie të Universit, domethënë në greqisht Kozmosin. Vetë fjala "kozmos" do të thotë saktësisht "rend, rregull". Më të rëndësishmet ishin gjashtë (numri i përsosur) dhe dhjetë, shuma e numrave të njëpasnjëshëm 1+2+3+4, të përbërë nga numra të tjerë, simbolika e të cilëve ka mbijetuar deri më sot. Kështu Pitagora mësoi se numrat janë fillimi dhe burimi i gjithçkaje, dhe vetëm zbulimi numrat irracionalë e ktheu lëvizjen e Pitagorës drejt gjeometrisë. Ne e dimë arsyetimin nga shkolla se

√2 është një numër irracional

Për supozojmë se ka: dhe se kjo thyesë nuk mund të zvogëlohet. Në veçanti, të dyja p dhe q janë tek. Le të vendosim në katror: 2q²=p². Numri p nuk mund të jetë tek, që atëherë p² do të ishte gjithashtu, dhe ana e majtë e barazisë është shumëfish i 2. Prandaj, p është çift, d.m.th., p = 2r, pra p²= 4r². Ne zvogëlojmë ekuacionin 2q²= 4r² nga 2. Marrim q²= 2r² dhe shohim se q duhet gjithashtu të jetë çift, gjë që supozuam se nuk është kështu. Kontradikta që rezulton plotëson provën - kjo formulë mund të gjendet shpesh në çdo libër matematikor. Kjo provë rrethanore është një truk i preferuar i sofistëve.

Kjo pafundësi nuk mund të kuptohej nga pitagorianët. Çdo gjë duhet të jetë në gjendje të përshkruhet me numra, dhe diagonalja e një katrori, të cilin çdokush mund ta vizatojë me një shkop nëpër rërë, nuk ka gjatësi, domethënë të matshme. "Besimi ynë ishte i kotë," duket se thonë pitagorianët. Si keshtu? Është disi... irracionale. Unioni u përpoq të shpëtonte veten me metoda sektare. Kushdo që guxon të zbulojë ekzistencën e tij numrat irracionalë, do të dënohej me vdekje dhe, me sa duket, dënimin e parë e kreu vetë mjeshtri.

Por “mendimi kaloi i padëmtuar”. Epoka e artë ka ardhur. Grekët mundën Persianët (Maratona 490, Blloku 479). Demokracia u forcua, u ngritën qendra të reja të mendimit filozofik dhe shkolla të reja. Pitagorianët ende po luftonin me numrat irracionalë. Disa predikuan: ne nuk do ta kuptojmë këtë mister; ne mund të sodisim dhe të mrekullohemi vetëm për Uncharted. Këta të fundit ishin më pragmatikë dhe nuk e respektonin Misterin. Në atë kohë u shfaqën dy ndërtime mendore që bënë të mundur kuptimin e numrave irracionalë. Fakti që ne i kuptojmë mjaft mirë sot i përket Eudoxus-it (shek. V p.e.s.), dhe vetëm në fund të shekullit të XNUMX-të matematikani gjerman Richard Dedekind i dha teorisë së Eudoxus zhvillimin e duhur në përputhje me kërkesat e rigorozitetit. logjika matematikore.

Masa figurash ose tortura

A mund të jetoni pa numra? Edhe sikur të ishte jeta... Do të duhej të shkonim në dyqan për të blerë këpucë me shkop, të cilat më parë i kishim matur gjatësinë e këmbës. "Do të doja mollët, ah, ja ku është!" – do të tregonim shitësit në treg. "Sa larg është nga Modlin në Nowy Dwur Mazowiecki"? "Shume afer!"

Numrat përdoren për të matur. Me ndihmën e tyre ne shprehim edhe shumë koncepte të tjera. Për shembull, shkalla e hartës tregon se sa është zvogëluar sipërfaqja e vendit. Një shkallë dy-për-një, ose thjesht 2, shpreh faktin se diçka është dyfishuar në madhësi. Le të themi matematikisht: çdo homogjenitet korrespondon me një numër - shkallën e tij.

detyrë. Bëmë një kopje xerografike, duke e zmadhuar imazhin disa herë. Pastaj fragmenti i zmadhuar u zmadhua përsëri b herë. Cila është shkalla e përgjithshme e zmadhimit? Përgjigje: a × b shumëzuar me b. Këto peshore duhet të shumëzohen. Numri "minus një", -1, korrespondon me një saktësi që është në qendër, d.m.th. i rrotulluar 180 gradë. Çfarë numri i korrespondon një kthese 90 gradë? Nuk ka një numër të tillë. Është, është… ose më mirë, do të jetë së shpejti. A jeni gati për torturë morale? Merr guxim dhe merr rrënjën katrore minus një. po dëgjoj? Çfarë nuk mundesh? Në fund të fundit, ju thashë të jeni të guximshëm. Nxirre jashtë! Hej, mirë, tërhiqe, tërhiqe... Unë do të ndihmoj... Këtu: -1 Tani që e kemi, le të përpiqemi ta përdorim... Sigurisht, tani mund të nxjerrim rrënjët e të gjithë numrave negativë, për shembull.:

√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1

"Pavarësisht nga ankthi mendor që sjell." Kjo është ajo që shkroi Girolamo Cardano në vitin 1539, duke u përpjekur të kapërcejë vështirësitë mendore që lidhen me - siç u quajt shpejt - sasitë imagjinare. Ai i konsideroi këto...

...detyrë. Ndani 10 në dy pjesë, prodhimi i të cilave është 40. Më kujtohet se nga episodi i mëparshëm ka shkruar diçka të tillë: Sigurisht e pamundur. Sidoqoftë, le të bëjmë këtë: ndajmë 10 në dy pjesë të barabarta, secila e barabartë me 5. Shumëzoji ato - doli 25. Nga 25 që rezultojnë, tani zbrit 40, nëse dëshiron, dhe merr -15. Tani shikoni: √-15 e shtuar dhe zbritur nga 5 jep produktin e 40. Këta janë numrat 5-√-15 dhe 5 + √-15. Verifikimi i rezultatit u krye nga Cardano si më poshtë:

“Pavarësisht dhimbjes së zemrës që sjell, shumëzoni 5 + √-15 me 5-√-15. Marrim 25 - (-15), që është e barabartë me 25 + 15. Pra, prodhimi është 40 .... Është vërtet e vështirë”.

Epo, sa është: (1 + √-1) (1-√-1)? Le të shumëzohemi. Mos harroni se √-1 × √-1 = -1. E madhe. Tani një detyrë më e vështirë: nga a + b√-1 në ab√-1. Cfare ndodhi? Sigurisht, si kjo: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Çfarë është interesante për këtë? Për shembull, fakti që mund të faktorizojmë shprehjet që “nuk i dinim më parë”. Formula e shkurtuar e shumëzimit për²-b² A ju kujtohet formula për²+b² nuk ishte, sepse nuk mund të ishte. Në fushën e numrave realë, polinomi²+b² është e pashmangshme. Le të shënojmë "tonën" rrënjë katrore të "minus një" me shkronjën i.²= -1. Është një numër i thjeshtë "joreal". Dhe kjo është ajo që përshkruan një kthesë 90 gradë të një aeroplani. Pse? Pas te gjithave,²= -1, dhe duke kombinuar një rrotullim 90 gradë dhe një rrotullim tjetër 180 gradë jep një rrotullim 45 gradë. Çfarë lloj rrotullimi po përshkruhet? Natyrisht një kthesë XNUMX gradë. Çfarë do të thotë -i? Është pak më e ndërlikuar:

(-I)² = -i × (-i) = +i² = -1

Pra -i përshkruan gjithashtu një rrotullim 90 gradë, pikërisht në drejtim të kundërt të rrotullimit të i. Cili është i majtë dhe cili është i djathtë? Duhet të lini një takim. Supozojmë se numri i specifikon një rrotullim në drejtimin që matematikanët e konsiderojnë pozitiv: në të kundërt të akrepave të orës. Numri -i përshkruan rrotullimin në drejtimin ku po lëvizin treguesit.

Por a ekzistojnë numra si i dhe -i? Janë! Sapo i kemi sjellë në jetë. po dëgjoj? Se ato ekzistojnë vetëm në kokën tonë? Epo çfarë të presësh? Të gjithë numrat e tjerë gjithashtu ekzistojnë vetëm në mendjen tonë. Ne duhet të shohim nëse numrat tanë të porsalindur mbijetojnë. Më saktësisht, nëse dizajni është logjik dhe nëse ato do të jenë të dobishme për diçka. Ju lutemi pranoni fjalën time se gjithçka është në rregull dhe se këta numra të rinj janë vërtet të dobishëm. Numrat si 3+i, 5-7i, në përgjithësi: a+bi quhen numra kompleks. Unë ju tregova se si mund t'i merrni ato duke rrotulluar avionin. Ato mund të futen në mënyra të ndryshme: si pika në një rrafsh, si disa polinome, si një lloj vargjesh numerike ... dhe çdo herë ato janë të njëjta: ekuacioni x² +1=0 nuk ka asnjë element... hocus pocus tashmë është atje!!!! Le të gëzohemi dhe të gëzohemi!!!

Fundi i turneut

Kjo përfundon turneun tonë të parë në vendin e numrave të rremë. Nga numrat e tjere jotokesor do te permend edhe ata qe kane pafundesisht shume shifra perpara dhe jo mbrapa (quhen 10-adic, per ne jane me rendesi p-adic, ku p eshte numer i thjeshte), psh X. = … … … 96109004106619977392256259918212890625

Le të numërojmë X ju lutem². Si? Po sikur të llogarisim katrorin e një numri të ndjekur nga një numër i pafund shifrash? Epo, le të bëjmë të njëjtën gjë. Ne e dimë se x² = H.

Le të gjejmë një numër tjetër të tillë me një numër të pafund shifrash përpara që plotëson ekuacionin. Këshillë: katrori i një numri që mbaron me gjashtë përfundon gjithashtu me gjashtë. Katrori i një numri që mbaron me 76 mbaron gjithashtu me 76. Katrori i një numri që mbaron me 376 përfundon gjithashtu me 376. Katrori i një numri që mbaron me 9376 mbaron gjithashtu me 9376. Sheshi i Një Numri që mbaron me XNUMX në… Ka edhe numra që janë aq të vegjël sa që duke qenë pozitivë mbeten më të vegjël se çdo numër tjetër pozitiv. Ato janë aq të vogla sa ndonjëherë mjafton t'i vësh në katror për të marrë zero. Ka numra që nuk plotësojnë kushtin a × b = b × a. Ka edhe numra të pafund. Sa numra natyrorë ka? Pafundësisht shumë? Po, por sa? Si mund të shprehet kjo si një numër? Përgjigje: më i vogli i numrave të pafund; shënohet me një shkronjë të bukur: A dhe plotësohet me indeksin zero A₀ , aleph-zero.

Ka edhe numra që ne nuk e dimë se ekzistojnë... ose që mund t'i besoni ose mos besoni si të doni. Dhe duke folur për të ngjashme: Shpresoj që t'ju pëlqejnë akoma numrat jorealë, numrat e specieve fantazi.