Coronavirus dhe Edukimi Matematik – Koleksione të Komisionuara pjesërisht

Virusi që na ka infektuar po nxit një reformë të shpejtë arsimore. sidomos në nivelet e larta të arsimit. Mund të shkruhet një ese më e gjatë për këtë temë; sigurisht që do të ketë një rrjedhë disertacionesh doktorature mbi metodat e mësimit në distancë. Nga një këndvështrim i caktuar, ky është një rikthim në origjinë dhe në zakonet e harruara të vetë-mësimit. Kështu ndodhi, për shembull, në shkollën e mesme Kremenets (në Kremenets, tani në Ukrainë, e cila ekzistonte në 1805-31, vegjetoi deri në 1914 dhe përjetoi kulmin e saj në 1922-1939). Aty nxënësit studionin vetë - vetëm pasi kishin mësuar mësuesit vinin me korrigjime, sqarime përfundimtare, ndihmë në vende të vështira etj. d. Kur u bëra student, ata gjithashtu thanë se duhet të marrim njohuri vetë, se mësimet në universitet mund të porositen dhe dërgohen vetëm. Por atëherë ishte vetëm një teori ...

Në pranverën e vitit 2020, nuk jam i vetmi që zbulova se mësimet (përfshirë leksionet, ushtrimet, etj.) mund të zhvillohen në mënyrë shumë efektive në distancë (Google Meet, Microsoft Teams, etj.), me koston e shumë punës nga ana e mësuesit dhe vetëm një dëshirë "të arsimohesh" nga ana tjetër; por edhe me njëfarë rehatie: ulem në shtëpi, në kolltukun tim dhe në leksionet tradicionale, studentët shpesh bënin edhe diçka tjetër. Efekti i një trajnimi të tillë mund të jetë edhe më i mirë sesa me sistemin tradicional, që daton në mesjetë, në klasë-mësim. Çfarë do të mbetet prej tij kur virusi të shkojë në ferr? Unë mendoj… shumë. Por ne do të shohim.

Sot do të flas për grupe të porositura pjesërisht. Është e thjeshtë. Meqenëse një lidhje binare në një bashkësi jo boshe X quhet një relacion i rendit të pjesshëm kur ekziston

(Tadeusz Kotarbinski, 1886-1981, filozof,

President i Akademisë Polake të Shkencave në 1957-1962).

1. Refleksiv, d.m.th. për çdo ∈ ka ",
2. Kalimtari, d.m.th. nëse ", dhe ", atëherë ",
3. Gjysmë-asimetrike, dmth («∧»)→ =

Një rresht është një grup me vetinë e mëposhtme: për çdo dy elementë, ai është një grup ose "ose y". Antizinxhiri është...

Ndalo, ndalo! A mund të kuptohet ndonjë nga këto? Sigurisht që është. Por a e ka kuptuar tashmë ndonjë nga lexuesit (duke e ditur ndryshe) se çfarë është këtu?

Une nuk mendoj! Dhe ky është kanuni i mësimit të matematikës. Gjithashtu në shkollë. Së pari, një përkufizim i denjë, i rreptë, dhe më pas, ata që nuk ranë në gjumë nga mërzia do të kuptojnë patjetër diçka. Kjo metodë u imponua nga mësuesit "të mëdhenj" të matematikës. Ai duhet të jetë i kujdesshëm dhe i rreptë. Është e vërtetë që kështu duhet të jetë në fund të fundit. Matematika duhet të jetë një shkencë ekzakte (Shiko gjithashtu: ).

Më duhet të rrëfej se në universitetin ku punoj pas pensionimit nga Universiteti i Varshavës, kam dhënë edhe kaq shumë vite mësim. Vetëm në të ishte kova famëkeqe me ujë të ftohtë (le të qëndrojë kështu: kishte nevojë për një kovë!). Papritur, abstraksioni i lartë u bë i lehtë dhe i këndshëm. Kushtojini vëmendje: e lehtë nuk do të thotë e lehtë. Edhe boksieri i lehtë e ka të vështirë.

Unë buzëqesh me kujtimet e mia. Bazat e matematikës më mësoi dekani i atëhershëm i departamentit, një matematikan i klasit të parë që sapo kishte ardhur nga një qëndrim i gjatë në SHBA, që në atë kohë ishte diçka e jashtëzakonshme në vetvete. Mendoj se ishte pak snob kur harroi pak polonishten. Ajo abuzoi me polaken e vjetër "çfarë", "prandaj", "azalea" dhe shpiku termin: "marrëdhënie gjysmë asimetrike". Më pëlqen ta përdor, është vërtet i saktë. Une pelqej. Por unë nuk e kërkoj këtë nga studentët. Kjo zakonisht quhet "antisimetri e ulët". Dhjetë të bukura.

Shumë kohë më parë, sepse në vitet shtatëdhjetë (të shekullit të kaluar) u krye një reformë e madhe, e gëzueshme e mësimit të matematikës. Kjo përkoi me fillimin e periudhës së shkurtër të mbretërimit të Eduard Gierek - një hapje definitive e vendit tonë ndaj botës. "Fëmijëve mund t'u mësohet edhe matematika më e lartë," thirrën Mësuesit e Mëdhenj. Për fëmijët u përpilua një përmbledhje e leksionit universitar “Bazat e matematikës”. Ky ishte një trend jo vetëm në Poloni, por në të gjithë Evropën. Zgjidhja e ekuacionit nuk ishte e mjaftueshme, çdo detaj duhej shpjeguar. Për të mos qenë i pabazuar, secili nga lexuesit mund të zgjidhë sistemin e ekuacioneve:

por nxënësit duhej të justifikonin çdo hap, t'u referoheshin pohimeve përkatëse, etj. Ky ishte një tepricë klasike e formës mbi përmbajtjen. Është e lehtë për mua të kritikoj tani. Edhe unë dikur kam qenë mbështetës i kësaj qasjeje. Është emocionuese... për të rinjtë që janë të apasionuar pas matematikës. Kjo, natyrisht, ishte (dhe, për hir të vëmendjes, unë).

Por mjaft digresion, le t'i drejtohemi punës: një leksion që ishte "teorikisht" i destinuar për studentët e dytë të Politeknikut dhe do të kishte qenë i thatë si thekon kokosi nëse jo ajo. po e ekzagjeroj pak...

Mirmengjesi per ju. Tema e sotme është pastrimi i pjesshëm. Jo, kjo nuk është një aluzion i pastrimit të pakujdesshëm. Një krahasim më i mirë do të ishte të konsideronim se cila është më e mirë: supë me domate apo kek krem. Përgjigja është e qartë: varet nga çfarë. Për ëmbëlsirë - biskota, dhe për një pjatë ushqyese: supë.

Në matematikë kemi të bëjmë me numra. Janë të renditura: janë gjithnjë e më pak, por nga dy numra të ndryshëm, njëri është gjithmonë më i vogël, që do të thotë se tjetri është më i madh. Ato janë të renditura sipas radhës, si shkronjat në alfabet. Në ditarin e klasës, rendi mund të jetë si më poshtë: Adamchik, Baginskaya, Khoinitsky, Derkovsky, Elget, Filipov, Gzhechnik, Kholnitsky (ata janë miq dhe shokë klase nga klasa ime!). Ne gjithashtu nuk kemi dyshim se Matusyak "Matushelyansky" Matushevsky "Matisyak. Simboli për "pabarazi e dyfishtë" ka kuptimin "më parë".

Në klubin tim të udhëtimit, ne përpiqemi t'i bëjmë listat alfabetike, por me emër, për shembull, Alina Wrońska "Warvara Kaczarska", Cesar Bouschitz, etj. Në të dhënat zyrtare, rendi do të ndryshonte. Matematikanët i referohen rendit alfabetik si leksikografik (një leksik është pak a shumë si një fjalor). Nga ana tjetër, një rend i tillë, në të cilin në një emër të përbërë nga dy pjesë (Michal Shurek, Alina Wronska, Stanislav Smazhinsky) së pari shikojmë pjesën e dytë, është një renditje antileksikografike për matematikanët. Tituj të gjatë, por përmbajtje shumë të thjeshtë.

1. Rendi linear: stacione dhe ndalesa në hekurudhën Habovka-Zakopane nga Podhale, e ndërtuar në vitin 1899 (deshifrimin e shkurtesave ia lë lexuesit).

Të gjitha porositë e tilla quhen urdhra të linjës. Rendisim me radhë: e para, e dyta, e treta. Gjithçka është në rregull, nga pika e parë në të fundit. Nuk ka gjithmonë kuptim. Në fund të fundit, ne i rregullojmë librat në bibliotekë jo si kjo, por në seksione. Vetëm brenda departamentit ne rregullojmë në mënyrë lineare (zakonisht në mënyrë alfabetike).

2. Rendi linear: kur ndezim motorin e makinës, ne kryejmë veprime në një rend të qëndrueshëm.

Me projekte më të mëdha, veçanërisht në punën ekipore, nuk kemi më një renditje lineare. Le të shohim fik. 3. Ne duam të ndërtojmë një hotel të vogël. Ne tashmë kemi para (qeliza 0). Ne hartojmë lejet, mbledhim materiale, fillojmë ndërtimin dhe në të njëjtën kohë bëjmë një fushatë reklamuese, kërkojmë punonjës, e kështu me radhë e kështu me radhë. Kur të arrijmë "10", të ftuarit e parë mund të bëjnë check in (një shembull nga tregimet e z. Dombrowski dhe hoteli i tyre i vogël në periferi të Krakovit). Ne kemi renditje jolineare – disa gjëra mund të ndodhin paralelisht.

Në ekonomi, ju mësoni për konceptin e rrugës kritike. Është një grup veprimesh që duhet të kryhen në mënyrë sekuenciale (dhe kjo quhet zinxhir në matematikë, më shumë për këtë në një moment), dhe që marrin më shumë kohë. Reduktimi i kohës së ndërtimit është një riorganizim i rrugës kritike. Por më shumë për këtë në leksione të tjera (më lejoni t'ju kujtoj se po jap një "leksion universitar"). Ne fokusohemi në matematikë.

Diagramet si Figura 3 quhen diagrame Hasse (Helmut Hasse, matematikan gjerman, 1898–1979). Çdo përpjekje komplekse duhet të planifikohet në këtë mënyrë. Ne shohim sekuencat e veprimeve: 1-5-8-10, 2-6-8, 3-6, 4-7-9-10. Matematikanët i quajnë vargje. E gjithë ideja përbëhet nga katër zinxhirë. Në të kundërt, grupet e aktivitetit 1-2-3-4, 5-6-7 dhe 8-9 janë antizinxhirë. Ja si quhen. Fakti është se në një grup të veçantë, asnjë nga veprimet nuk varet nga ai i mëparshmi.

4. Ky është gjithashtu një diagram Hasse.

pasdite figura 4. Çfarë është mbresëlënëse? Por mund të jetë një hartë metroje në ndonjë qytet! Hekurudhat nëntokësore janë gjithmonë të grupuara në linja - ato nuk kalojnë nga njëra në tjetrën. Linjat janë linja të veçanta. Në qytetin e Fig. 4 është furrë rreshti (mos harroni se furrë shkruhet "boldem" - në polonisht quhet gjysmë i trashë).

Në këtë diagram (Fig. 4) ka një ABF të verdhë të shkurtër, një ACFPS me gjashtë stacione, një ADGL jeshile, një DGMRT blu dhe më e gjata e kuqe. Matematikani do të thotë: ky diagram Hasse ka furrë zinxhirë. Është në vijën e kuqe shtatë stacioni: AEINRUW. Po antizinxhirët? Janë ata shtatë. Lexuesi tashmë e ka vënë re që e kam nënvizuar dyfish fjalën shtatë.

Antizinxhiri ky është një grup i tillë stacionesh saqë është e pamundur të kalosh nga njëri prej tyre në tjetrin pa një transferim. Kur të "kuptojmë" pak, do të shohim antizinxhirët e mëposhtëm: A, BCLTV, DE, FGHJ, KMN, PU, ​​SR. Ju lutemi, kontrolloni, për shembull, nuk është e mundur të udhëtoni nga ndonjë prej stacioneve BCLTV në një tjetër BCTLV pa transferim, më saktë: pa pasur nevojë të ktheheni në stacionin e paraqitur më poshtë. Sa antizinxhirë ka? shtatë. Cila është madhësia më e madhe? Piqem (përsëri me shkronja të zeza).

Ju mund ta imagjinoni, studentë, se rastësia e këtyre numrave nuk është e rastësishme. Kjo. Kjo u zbulua dhe u vërtetua (d.m.th. gjithmonë kështu) në vitin 1950 nga Robert Palmer Dilworth (1914–1993, matematikan amerikan). Numri i rreshtave të nevojshëm për të mbuluar të gjithë grupin është i barabartë me madhësinë e antizinxhirit më të madh dhe anasjelltas: numri i antizinxhirëve është i barabartë me gjatësinë e antizinxhirit më të gjatë. Kjo është gjithmonë rasti në një grup pjesërisht të porositur, d.m.th. një që mund të vizualizohet. Diagrami Hassego. Ky nuk është një përkufizim mjaft i rreptë dhe i saktë. Kjo është ajo që matematikanët e quajnë "përkufizim pune". Ky është disi i ndryshëm nga "përkufizimi i punës". Ky është një sugjerim se si të kuptoni grupe të renditura pjesërisht. Kjo është një pjesë e rëndësishme e çdo trajnimi: shikoni se si funksionon.

Shkurtesa angleze është - kjo fjalë tingëllon bukur në gjuhët sllave, pak si gjembak. Vini re se gjembaku është gjithashtu i degëzuar.

Shumë bukur, por kujt i duhet? Ju, të dashur studentë, keni nevojë për të kaluar provimin dhe kjo ndoshta është një arsye mjaft e mirë për ta studiuar atë. Unë po dëgjoj, çfarë pyetjesh? Unë po dëgjoj, zotëri nga poshtë dritares. Oh, pyetja është, a do të jetë kjo ndonjëherë e dobishme për Zotin në jetën tuaj? Ndoshta jo, por për dikë më të zgjuar se ju, me siguri ... Ndoshta për analizën e rrugës kritike në një projekt kompleks ekonomik?

Këtë tekst po e shkruaj në mes të qershorit, në Universitetin e Varshavës po zhvillohen zgjedhjet për rektor. Kam lexuar disa komente nga përdoruesit e internetit. Ekziston një sasi e habitshme urrejtjeje (ose "urrejtje") ndaj "njerëzve të arsimuar". Dikush ka shkruar shprehimisht se njerëzit me arsim universitar dinë më pak se ata me arsim universitar. Sigurisht që nuk do të hyj në diskutim. Thjesht më vjen keq që po rikthehet opinioni mbizotërues në Republikën Popullore të Polonisë se gjithçka mund të bëhet me çekiç dhe daltë. Po i kthehem matematikës.

Teorema e Dillworth ka disa aplikacione interesante. Njëra prej tyre njihet si teorema e martesës.fik. 6). 

Ka një grup grash (më tepër vajza) dhe një grup pak më të madh burrash. Çdo vajzë mendon diçka të tillë: "Unë mund të martohem me këtë, për një tjetër, por kurrë në jetën time për një të tretën". Dhe kështu me radhë, secili ka preferencat e veta. Ne vizatojmë një diagram, duke i çuar secilit prej tyre një shigjetë nga djali të cilin ai nuk e refuzon si kandidat për altar. Pyetje: A mund të përputhen çiftet në mënyrë që secili të gjejë një burrë që e pranon?

Teorema e Philip Hall, thotë se kjo mund të bëhet - në varësi të kushteve të caktuara, të cilat nuk do t'i diskutoj këtu (pastaj në ligjëratën tjetër, studentë, ju lutemi). Megjithatë, vini re se kënaqësia e meshkujve nuk përmendet fare këtu. Siç e dini, janë femrat ato që na zgjedhin, dhe jo anasjelltas, siç mendojmë ne (më lejoni t'ju kujtoj se unë jam autori, jo autori).

Disa matematikë serioze. Si rrjedh teorema e Hall-it nga Dilworth? Është shumë e thjeshtë. Le të shohim sërish figurën 6. Zinxhirët atje janë shumë të shkurtër: kanë një gjatësi prej 2 (duke vrapuar në drejtim). Një grup burrash të vegjël është një antizinxhir (pikërisht sepse shigjetat drejtohen vetëm drejt njëri-tjetrit). Në këtë mënyrë mund të mbuloni një koleksion të tërë me aq antizinxhirë sa ka meshkuj. Pra, çdo grua do të ketë një shigjetë. Që do të thotë se ajo mund të duket si një djalë që e pranon!!!

Prisni, dikush do të pyesë, është kjo? A është ky i gjithë aplikacioni? Hormonet disi shkojnë mirë dhe pse matematika? Së pari, ky nuk është i gjithë aplikacioni, por vetëm një nga një seri të madhe. Le të shohim një prej tyre. Le të nënkuptojmë (Fig. 6) jo përfaqësues të seksit më të mirë, por blerës prozaikë, dhe këto janë marka, për shembull, makina, lavatriçe, produkte për humbje peshe, oferta nga agjencitë e udhëtimit, etj. Secili blerës ka marka që ai pranon dhe refuzon. A ka ndonjë gjë që mund të bëhet për t'i shitur diçka të gjithëve dhe si? Këtu mbarojnë jo vetëm batutat, por edhe njohuritë e autorit të artikullit për këtë temë. Gjithçka që di është se analiza bazohet në një matematikë mjaft komplekse.

Mësimdhënia e matematikës në shkollë është mësimdhënie me algoritme. Kjo është një pjesë e rëndësishme e të mësuarit. Por dalëngadalë po shkojmë drejt mësimdhënies jo aq të matematikës sa të metodës matematikore. Leksioni i sotëm ishte vetëm për këtë: ne po flasim për ndërtime abstrakte mendore, po mendojmë për jetën e përditshme. Fjala është për zinxhirë dhe antizinxhirë në grupe me marrëdhënie inverse, kalimtare dhe të tjera që përdorim në modelet shitës-blerës. Kompjuteri do të bëjë të gjitha llogaritjet për ne. Ai nuk do të krijojë ende modele matematikore. Ne ende fitojmë me mendimin tonë. Gjithsesi, shpresoj sa më gjatë!